Формулы. Справочный материал. Неопределенный интеграл

Первообразная

(1) F(x) называется первообразной для f(x) на заданном промежутке, если и

Неопределенный интеграл

(2) С – произвольная постоянная

Свойства неопределенного интеграла

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Таблица интегралов

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

Метод интегрирования с помощью замены переменной

(33) Метод подведения под знак дифференциала:

(34)

(35)

Метод интегрирования по частям

(36)

(37)

Интегрирование рациональных дробей

(38)

- многочлены.

Сводится к сумме интегралов от простейших рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов

Интегрирование простейших рациональных дробей

(39) Простейшая дробь 1-го типа:

(40) Простейшая дробь 2-го типа:

(41) Простейшая дробь 3-го типа:

(42) Простейшая дробь 4-го типа:

(43)

(44)

Интегралы от некоторых рациональных дробей

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

Интегралы от некоторых иррациональных функций

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

Интегралы от некоторых показательных и логарифмических функции

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80) ;

(81)

(82)

Интеграл от некоторых тригонометрических функций

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

(102)

Определенный интеграл

Связь определенного и неопределенного интеграла

1. Если непрерывна на отрезке, то функция

- одна из первообразных для , то есть

(2) - произвольная постоянная

Формула Ньютона-Лейбница

(3)

Свойства определенного интеграла

(4)

(5)

(6)

(7) (аддитивность)

(8) - постоянная

(9)

(10) Если - четная, то

(11) Если - нечетная, то

Оценки значения определенного интеграла (a<b)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16) Если непрерывна на отрезке , то

(теорема о среднем)

Метод интегрирования с помощью замены переменной

(17)

(18)

Метод интегрирования по частям

(19)

(20)

Вычисление площадей, длин дуг и объемов с помощью определенного интеграла

(21) Вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции ,и прямыми

(22) Вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, заданной в параметрической форме

(23) Вычисление площади криволинейного сектора, ограниченного графиком непрерывной функции и лучами(в полярных координатах):

(24) Вычисление длины дуги кривой, заданной непрерывной функцией , имеющей непрерывную производную,:

(25) Вычисление длины дуги кривой, заданной функцией в параметрической форме

(26) Вычисление длины дуги кривой, заданной функцией , имеющей непрерывную производную в области определения

(27) Вычисление объема тела вращения, образованного криволинейной трапецией, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции и прямымипри вращении вокруг оси ОХ:

(28) Вычисление объема тела через площадь поперечного сечения , перпендикулярного оси ОХ:

(29) Вычисление площади поверхности тела вращения, образованного графиком непрерывной, имеющей непрерывную производную, неотрицательной функции при вращении вокруг оси ОХ в области определения:

(30) Вычисление площади поверхности тела вращения, образованного графиком функции, заданной в параметрической форме

(31) вычисление площади поверхности тела вращения, образованного графиком непрерывной, имеющей непрерывную производную, функции в области определения, при вращении вокруг оси ОХ: