13. Транспортная задача

Транспортная задача - задача определения оптимального плана перевозок груза из данных пунктов отправления в заданные пункты потребления.

Методы нахождение опорного решения транспортной задачи. Исходные данные транспортной задачи задаются в распределительной таблице, где по строкам отражают запасы груза у каждого поставщика, а по столбцам - потребность в данном грузе каждого по­требителя. В правом верхнем углу каждой клетки - стоимость пере­возки единицы груза от каждого поставщика каждому потребителю.

С_ij – стоимость перевозки единицы груза, а_i – запас груза у i – го поставщика (i =1…m), b_i- потребность в грузе j- потребителя (j=1…n), х – кол-во груза от i-го поставщика к j –потребителю.

Постановка задачи (на мин-ую стоимость перевозки груза): найти значение переменных x_ij обеспечивающих целевой функции и удовлетворяющих системе ограничений: 1. Сумма всех грузов перевезенных отi-поставщика д.б. равна запасу груза у этого поставщика. 2. Сумма всех грузов, доставляемых j- потребителю д.б. равна потребности этого потребителя. 3. Неотрицательность переменных. Т.е.:

1 i=1…m

2j=1…n

3 x_ij 0 i=1…m, j=1…n

Причем, для того чтобы решить транспортную задачу, сумма запасов однородного груза у поставщиков должна быть равна сумме потребностей в этом грузе потребителей (закрытая модель).

В случае невыполнения этого условия (открытая модель) необходимо произвести некоторые преобразования (введение фиктивного поставщика или потребителя) и получить закрытую модель.

Алгоритм решения транспортной задачи состоит из двух шагов:

- составление первоначального опорного плана каким-либо методом (минимального элемента в таблице, северо-западного угла, аппроксимации);

- улучшение этого плана и доведение его до оптимального мето­дом потенциалов.

Рассмотрим алгоритм составления первоначального опорного плана методом аппроксимации. Данный метод особенно эффективен для задач малой размерностью, так как в большинстве случаев приво­дит к оптимальному решению.

В распределительной таблице добавляются нулевой столбец (сле­ва) и нулевая строка (сверху).

В нулевую строку записываются разности, полученные в соответ­ствующих столбцах путем вычитания наименьшей стоимости из сле­дующей за ней по величине. В нулевой столбец заносят разности, полу­ченные аналогично в строках. Из всех полученных разностей выбира­ется наибольшая. При этом могут встретиться два случая:

1. Одна наибольшая разность. Тогда в соответствующей строке (столбце) обычным образом заполняется клетка, в которой стоит наименьшая стоимость, и рассчитываются новые разности.

2. Несколько одинаковых наибольших разностей. В этом случае в соответствующей строке (столбце) находим клетку, в которой стоит наименьшая стоимость, и проверяем, будет ли этот показатель наи­меньшим в противоположном ряду.

Для строки противоположным рядом будем считать стол­бец, а для столбца - строку.

Здесь возможны следующие моменты:

- условие выполнено для одной клетки. Тогда с нее начинаем за­полнение таблицы;

- условие выполнено для нескольких клеток. Тогда заполняется та, которой в противоположном ряду соответствует большая разность. Если противоположные разности равны, то заполняем обе клетки;

- условие не выполняется ни для одной клетки. Тогда в строках (столбцах) с наибольшей разностью отыскивают наименьшую стоимость, из которой вычитают наименьшую стоимость противоположного ряда. В результате получают несколько положительных чисел. Заполняется клетка для которой это число будет наименьшим, после чего разности рассчитывают заново. Если числа будут одинаковыми, то заполняют любую клетку.

Условия оптимальности ТЗ (м/д потенциалов)

Для того чтобы проверить является ли данный опорный план оп­тимальным, необходимо применить метод потенциалов. Предвари­тельно сделаем необходимые обозначения:

Vj - потенциалы столбцов;

Ui - потенциалы строк;

Cij - стоимость перевозки единицы груза от каждого поставщика каждому потребителю;

Хij - количество груза, которое будет перевезено от i-ro постав­щика к j-му потребителю, где i =l,...,m(m-число строк), a j = 1, ...,n (n - число столбцов).

Опорный план транспортной задачи может иметь (m + n -1) от­личных от нуля неизвестных. В этом случае план является невырожденным.

Если отличных от нуля неизвестных меньше, чем (m+ n -1), то такой план - вырожденный. И для нахождения оптимального плана одна из пустых клеток таблицы, в этом случае, считается заполнен­ной нулевым грузом.

Опорный план является оптимальным, если выполняются следующие условия:

1. Для заполненных клеток (Xij > 0)

Vi - Ui = Cij

2/ Для пустых клеток (Xij= 0)

Vi - Ui Cij

для всех i= 1, ...,m и j= 1, ...,n.

Для всех пустых клеток, где нарушено второе условие оптималь­ности, находим характеристику по следующей формуле: Vj-Ui-Cij

Из характеристик выбираем наибольшую и, начиная с клетки с данной характери­стикой, строим цепь (цикл) — ломаная линия, вершины которой распо­ложены в занятых клетках таблицы, кроме первой. Повороты цепи! делают под прямым углом. В строке или столбце, где проходит цепь, содержится только две клетки цепи, цепь должна быть замкнута. Клетки цепи отмечаем чередующимися знаками (+) и (-), начиная со знака (+) в первой клетке цепи. Из всех объемов поставок, стоящих в клетках со знаком (-), выбираем минимальный, он обозначается буквой Q. Вычитаем Q из поставок отрицательной полу цепи и прибавляем к поставкам положительной полу цепи.

Пересчитанные грузы записываем в таблицу и пересчитываем потенциалы.