10.Альтернативный оптимум и вырождение основной задачи лп

Если среди оценок свободных переменных в последней симплексной оценке есть, хотя бы 1 оценка=0, то задача имеет альтернативное решение, т.е. хотя бы 2 оптим реш-я. Для этих решений экстремальное значение функции будет одинаковое. Чем больше будет нулевых оценок тем больше оптим реш-ий.

Вырождение основной задачи лп

Если в опорном решении задачи хотя бы 1 базисная переменная принимает 0-ое значение, то это решение называется вырожденным, а задача ЛП, имеющая хотя бы 1 вырожденное решение – вырожденной задачей. Вырождение наступает в тех случаях, когда при выборе разрещ элемента получается несколько одинаковых минимальных симплексных отношений. В этом случае в след. симплекс таблице в столбце свободных членов появится хотя бы 1 ноль. Вырождение в больших зад-х может привести к зацикливанию, т.е. через некоторое число шагов мы м прийти к опорному решению которое было уже получено раньше. Чтобы избежать зацикливания, разрещ элемент нужно выбирать по опр правилу, а именно: для тех строк разрещ столбца, где получились одинаковые миним симплексные отношения, нужно составить отношения элементов, стоящих в столбце за разрещ столбцом, к элементам разрещ столбца. Наименьшее отношение с учетом знака даст разрещ строку.

11. М-д искус-го базиса (м-метод). Теорема м-метода

Дан-й м-д исп-ся, если с-ма огр-й представлена в канон-й форме, но не приведена к единичному базису.

Тmax= Zmax-M∑y_i ; Tmin= Zmin+M∑y_i

Эта задача реш-ся в симп.табл., но для удобства цел. функ. разбивают на 2 строки. В 1-ую записывают оц-ки, кот. не содер-т коэф.М, во 2-ую – оц-ки по кажд. перем-й, содер-щей коэф.М

Расчет эл-ов этих 2-ух строк произ-ся по формуле а_0j= ∑ С_i*а_ij – C_j, где j=1…n, a_ij – коэф. j-го столбца, С_i- коэф. при бп в урав-ии Z, C_j – коэф. при св.п в урав-и Z, но есть различия. При расчете оц-к М строки коэф С_j во внимание не берется, а М выносится как общий множ-ль. Для того, чтобы Т=Z, нужно, чтобы y_i=0. Поэтому пока у_i не равно 0 разреш-щий столбец выбир-ся по оц-кам во 2-ой строке (исп-ся алгоритм СМ). После того как все у_i=0 дальнейший расчет будет вестись по 1-ой индексной строке. Причем, когда у_i будет выводится из базиса, его выбрасывают из симп. табл, а в след. табл. не будет бывшего разрешающего столбца.

Теорема М-метода

1. Если в оптим. реш-ии М задачи все искус-ые перем-е у_i=0, то это реш-е будет явл-ся оптим. реш-м Z задачи.

2. Если в оптим. реш-ии М задачи хотя бы 1 из искус-х перем-х отлич-ся от нуля, то Z задача не имеет реш-я по причине не совместности с-мы огр-й.

3. Если М задача оказ-ся не разрешима, т.е. Тmax→∞, Tmin→-∞, то исходная задача также неразрешима по причине либо не совместности с-мы огр-й, либо неогран-ти цел. функ.

12.Симметрич. Дз. Основная теорема двойст-ти.

В ИЗ цел функция – Z, перем-ые – х. В ДЗ цел.фукн.- W, перем-е –u.

Правило построения ДЗ: 1) число огран-й ДЗ= числу перем-х в ИЗ и наоборот; 2) матрица коэф. при перем-х в ДЗ получена путем транспонирования матрицы коэф. при перем-х в ИЗ; 3) знаки нерав-в с-мы огран-й ДЗ противоп-ы по смыслу знакам нер-в с-мы огран-й ИЗ; 4) в кач-ве св. чл огран-й ДЗ вытупают коэф-ы при соот-х перем-х в урав-х цел. функ. ИЗ. А в кач-ве коэф-в в урав-и цел. функ. ДЗ выст-ют св. чл соот-х огран-й ИЗ; 5) цел. функ. ДЗ меняет свое знач-е на сходное (была мах, стала мин); 6)если ИЗ на мах и в с-ме огр-й есть разнородные нер-ва, то их надо привести к типу ≤. Если ИЗ на мин, то к типу≥.

Основная теорема двойст-ти

1. Если 1 из ДЗ имеет опт-ое реш-е, то др. также имеет опт-ое реш-е, причем Хопт=Uопт, Zmax=Wmin; 2. Если 1 из ДЗ неразреш-а по причине неогран-ти цел.функ., то др. задача не имеет допуст. реш-й

Решая 1 из ДЗ СМ в последней симплекс. табл.мы найдем реш-е и др. задачи. Для этого необ-о привести с-му к канон. форме к единич. базису (при этом св.чл м.б. «-») и записать соот-е во взаимосвяз-ые пары, т.е. бп ДЗ соот-т св.п ИЗ и наоборот. Зная соот-е перем-х по результатам последней симплекс.табл. ИЗ можно записать реш-е ДЗ, при этом: 1. перем-е ДЗ, соот-щие св. п послед.сим.табл. ИЗ, приравн-ся к оц-кам соот-щих св.п ИЗ; 2. перем-е ДЗ, соот-щие бп послед. сим.табл. ИЗ, приравн-ся к нулю.