2.7. Двойственная задача линейного программирования. Экономическая интерпретация

Рассмотрим задачу линейного программирования следующего вида:

(2.7.1)

(2.7.2)

В задаче требуется максимизировать целевую функцию; все ограничения являются неравенствами со знаком , все переменные неотрицательны. Задача содержит управляющих переменных и ограничений. Коэффициенты при переменных в целевой функции: ; свободные члены:.

Двойственная задача линейного программирования имеет вид

(2.7.3)

(2.7.4)

В двойственной задаче требуется найти минимум целевой функции, ограничения – неравенства со знаком , управляющие переменные неотрицательны. Задача содержит управляющих переменных и ограничений. Коэффициенты целевой функции задачи являются свободными членами исходной ЗЛП, а свободные члены двойственной задачи – коэффициентами целевой функции исходной ЗЛП. Матрица коэффициентов двойственной задачи транспонирована, т.е. строки заменены столбцами, а столбцы – строками.

Задачи (2.7.1), (2.7.2) и (2.7.3), (2.7.4) называются парой взаимно двойственных задач линейного программирования.

Для двойственных задач верна следующая теорема.

Теорема двойственности: если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение х*, то другая также имеет оптимальное решение у*. При этом соответствующие им оптимальные значения целевых функций иравны.

Поясним экономический смысл двойственной модели.

Пусть в качестве управляющих переменных исходной модели рассматривается число изделий, производимых некоторым предприятием, а параметрами – количество ресурсов -го типа, используемых для изготовления изделий. Через обозначено количество ресурсов -го типа, идущее на изготовление одного изделия-го вида, (– прибыль от реализации одного изделия-го вида). Тогда исходная модель (2.7.1), (2.7.2) соответствует задаче определения оптимального плана производства продукции, обеспечивающего максимальную прибыль.

Пусть предприятие решило прекратить производство изделий и продать ресурсы, идущие на их изготовление. Обозначим через цены на единицу ресурсов -го вида,. Цены на ресурсы должны удовлетворять следующим двум условиям: во-первых, они не должны быть слишком высокими, иначе ресурсы невозможно будет продать; а во-вторых, цены на ресурсы должны быть такими, чтобы прибыль от их реализации была больше прибыли от реализации готовой продукции. Первое условие выражается формулой (2.7.3), второе условие – ограничениями (2.7.4). В левой части каждого из неравенств (2.7.4) стоит прибыль от продажи ресурсов всех типов, идущих на изготовление-го изделия, в правой части – прибыль от продажи-го изделия,. Таким образом, двойственная задача (2.7.3) – (2.7.4) соответствует следующей экономической проблеме: по каким минимальным ценам следует продавать ресурсы, чтобы прибыль от их реализации была больше прибыли, полученной от реализации продукции, изготавливаемой с использованием этих ресурсов. Значения переменных часто называют теневыми ценами.

Построение двойственной задачи позволяет глубже разобраться в поставленной экономической проблеме.