КАЗАНСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. Н. Туполева

Ш. И. ГАЛИЕВ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Казань 2002

2

УДК 6

Галиев Ш. И. Математическая логика и теория алгоритмов. – Казань: Издательство КГТУ им. А. Н. Туполева. 2002. - 270 с.

ISBN 5-93629-031-X

Пособие содержит следующие разделы. Логику высказываний и предикатов с приложениями, в том числе метод резолюций и элементы его реализации в языке ПРОЛОГ. Классические исчисления (высказываний и предикатов) и элементы неклассических логик: трёхзначные и многозначные логики, модальную, временную и нечеткую логики. Теорию алгоритмов: нормальные алгоритмы, машины Тьюринга, рекурсивные функции и их взаимосвязи. Понятие о сложности вычислений, различные (по сложности) классы задач и примеры таких задач.

Все главы снабжены контрольными вопросами и упражнениями, приведены варианты типовых заданий и тесты для самоконтроля усвоения материала.

Пособие предназначено студентам технических вузов по специальности 2201 направления «Информатика и вычислительная техника» и может быть использовано для специальности 2202 и других специальностей данного направления.

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

6

7

ВВЕДЕНИЕ

Логика обычно понимается как наука о способах доказательств и опровержений. Математическая логика – это логика, развиваемая с помощью математических методов.

Изучая методы доказательств и опровержений, логика интересуется в первую очередь формой получения истинных выводов, а не содержанием посылок и заключений в том или ином рассуждении. Рассмотрим, например, следующие два вывода:

1.Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Сократ – смертен.

2.Все котята любят играть. Мура – котенок. Следовательно, Мура любит играть.

Оба эти вывода имеют одну и ту же форму: Все А суть В; С есть А; следовательно, С есть В. Эти выводы верны в силу своей формы, независимо от содержания, независимо от того истинны или ложны взятые по себе посылки и заключения. Систематическая формализация и каталогизация правильных способов рассуждений – одна из основных задач логики. Если при этом применяется математический аппарат и исследования посвящены в первую очередь изучению математических рассуждений, то эта логика является математической логикой (формальной логикой). Данное определение не является строгим (точным) определением. Чтобы понять предмет и метод математической логики лучше всего приняться за ее изучение.

Математическая логика начала формироваться давно. Зарождение ее идей и методов происходило в Древней Греции, Древней Индии и Древнем Китае примерно с VI в. до н. э. Уже в этот период ученые пытались расположить цепь математических доказательств в такую цепочку, чтобы переход от одного звена к другому не оставлял сомнений и завоевал всеобщее признание. Уже в самых ранних дошедших до нас рукописях «канон» математического стиля изложения прочно установлен. Впоследствии он получает окончательное завершение у великих классиков: Аристотеля, Евклида, Архимеда. Понятие доказательства у этих авторов уже ничем не отличается от нашего.

8

Логика как самостоятельная наука берет свое начало в исследованиях Аристотеля (384 – 322 г. до н. э.). Великий философ древности Аристотель осуществляет энциклопедическую систематизацию античных знаний во всех областях существовавшей тогда науки. Логические исследования Аристотеля изложены, в основном, в двух его трудах «Первая аналитика» и «Вторая аналитика», объединенных под общим названием «Органон» (Орудие познания).

Следует особо отметить большое значение для становления и развития математической логики одного из самых блестящих достижений в истории человечества, а именно, превращение геометрии в точную дедуктивную систему в работе Евклида (330 – 275 г. до н. э.) «Начала». Именно этот дедуктивный подход с ясным осознанием целей и методов был положен в основу развития философской и математической мысли последующих столетий.

Также большое значение для становления и развития логики сыграли достижения в алгебре (алгебра Буля) и в других математических дисциплинах, в том числе и вновь в геометрии (создание неевклидовой геометрии - геометрии Лобачевского – Гаусса – Бойяи). Краткий обзор становления математической логики можно найти в [6].

В формировании и становлении математической логики участвовали многие и многие ученые, как древних времен, так средневековья и последующих времен.

Принципиальное и прикладное значение математической логики

Принципиальное значение математической логики – обоснование математики (анализ основ математики).

Прикладное значение математической логики в настоящее время очень велико. Математическая логика применяется для следующих целей:

•анализа и синтеза (построения) цифровых вычислительных машин и других дискретных автоматов, в том числе и интеллектуальных систем;

•анализа и синтеза формальных и машинных языков, для анализа естественного языка;

•анализа и формализации интуитивного понятия вычислимости;

•выяснения существования механических процедур для решения задач определённого типа;

•анализа проблем сложности вычислений.

Также математическая логика оказалась тесно связанной и с рядом вопросов лингвистики, экономики, психологии и философии.

В данном пособии излагаются основные понятия математической логики и теории алгоритмов. Материал, изложенный в пособии,

9

соответствует государственному образовательному стандарту для направления «Информатика и вычислительная техника» и может быть использован для студентов обучающихся по разным специальностям этого направления.

При написании пособия использовались литература [1-31], и, конечно, использованы и другие источники. В перечень литературы включены книги, которые желательно просмотреть любознательному и требовательному студенту.

В пособии в каждой главе приведены вопросы для самопроверки теоретического материала и упражнения, предназначенные для выработки навыков решения задач и углубления знаний по излагаемой теме. Кроме того, в пособии приведены варианты типовых заданий и тесты для самоконтроля усвоения материала.

Автор выражает искреннюю благодарность рецензентам д.ф.м.-н., профессорам И. З. Батыршину и Ф. Г. Мухлисову за полезные предложения и замечания, которые позволили улучшить работу.

Автор признателен своим студентам за помощь по набору текста.

10