ast-toi-uch-pos

Модуль 2

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ЭВМ

ПОСЛЕ ИЗУЧЕНИЯ МОДУЛЯ ВЫ ДОЛЖНЫ ЗНАТЬ:

Представление чисел в позиционных системах счисления.

Что означает однородность системы счисления.

Чем разряд отличается от разрядности.

Как нумеруются разряды.

Правило перевода целых чисел из одной системы счисления в другую.

Правило перевода правильной дроби из одной системы счисления в другую.

Правило перевода смешанных чисел из одной системы счисления в другую.

Представление чисел в формате с фиксированной точкой.

Представление чисел в формате с плавающей точкой.

Что означает процедура нормализации числа.

Представление двоично-кодированных десятичных чисел в упакованном и распакованном форматах.

Правила выполнения арифметических действий в различных системах счисления.

Для чего нужны обратный и дополнительный коды.

В каком случае возникает переполнение разрядной сетки.

В чем заключается модификация обратного и дополнительного кодов.

Правила суммирования чисел в прямом, обратном, дополнительном и модифицированных кодах.

Правило сложения по модулю.

РЕЗУЛЬТАТ:

Получение представления о различных системах счисления, преобразованиях чисел и выполнении над ними арифметических операций.

Формирование начальной профессиональной базы для успешного овладения такими дисциплинами как «Организация ЭВМ и систем».

Пополнение профессионального словарного запаса.

30

1 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Система счисления — это способ изображения чисел с помощью конечного множества символов.

Взависимости от способа изображения чисел системы счисления (c/c) делятся на позиционные и непозиционные.

Впозиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе.

Внепозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления.

Число, равное основанию системы счисления, записывается только в двух позициях данной системы.

Оборудование, необходимое для хранения любого числа от 0 до М, пропорционально произведению основания системы счисления (p) на количество разрядов (n) в числе: p*n = logpM.

Однородность позиционной системы означает, что множества символов, используемых в данной системе, достаточно для представления любого числа.

Разряд (позиция) — место для цифры в числе.

Разрядность — количество цифр в числе.

Разряды нумеруются справа налево.

Каждому разряду соответствует степень основания. Значения цифр лежат в пределах

от 0 до Р-1.

Для системы счисления с основанием Р максимальная цифра в одном разряде равна

Р-1.

Разделение числа на целую и дробную части имеет смысл только позиционных системах. В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием Р будет представлять собой ряд вида:

0 ≤ an ≤ P, A = {a1,a2,K,an}− алфавит

Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

•положительные значения индексов — для целой части числа (к разрядов);

•отрицательные значения индексов — для дробной части числа (m разрядов).

Пример. – 851,12 = – (8*102 + 5*101 + 1*100 + 1*10-1 + 2*10-2) =

=– (800 + 50 + 1 + 0,1 + 0,02)

Позиционная система счисления — арабская десятичная система.

Непозиционная система счисления — римская.

Максимальное целое число, которое может быть представлено в k разрядах:

Nmax = Pk −1

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в m разрядах дробной части: Nmin = P−m .

Имея в целой части числа k, а в дробной m разрядов, можно записать всего Pm+k разных чисел.

31

Анализ экономичности систем счисления показал, что наиболее эффективными являются системы с основанием, кратным 2, т.е. 2, 4, 8, 16. В силу специфики построения схем ЭВМ в современных машинах применяется шестнадцатеричная система счисления.

В одной из первых ЭВМ (ENIAC) использовалась десятичная система счисления.

Какой цифрой заканчивается четное двоичное число?

1.2 ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ

Правило перевода целого числа из системы с основанием p в систему с основанием d. Делить число и получаемые частные на основание системы d до тех пор, пока очередное частное не станет меньше d.

Правило перевода правильной дроби. Умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание системы d. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр в новой системе (перевод выполняется приближенно).

Правило перевода смешанного числа. Отдельно переводят целую и дробную часть, каждую по своим правилам.

Пример 1. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную

1110 = ?2 Воспользуемся степенным рядом 8 4 2 1 и представим число 11 как 8 + 2 + 1, что

32

Количество различных однобайтовых двоичных кодов равно 28=256 (00000000, 00000001, …, 11111111).

С помощью одного байта при двоичном кодировании можно представить целое неотрицательное число от 0 до 255.

Наибольшее десятичное число, которое можно записать тремя цифрами в двоичной системе равно 1112 = 710.

Наибольшее десятичное число, которое можно записать тремя цифрами в восьмеричной системе равно 7778 = 51110.

Наибольшее десятичное число, которое можно записать тремя цифрами в шестнадцатеричной системе равно FFF16 = 409510.

Пример 4. Перевод смешанного числа из десятичной системы счисления в восьмеричную

Любая позиционная система счисления дает более компактную запись числа по сравнению с двоичной.

Правила во всех позиционных системах счисления одинаковы.

В восьмеричной системе счисления каждая цифра соответствует трем двоичным разрядам — триаде.

В шестнадцатеричной системе счисления каждая цифра соответствует четырем двоичным разрядам — тетраде.

Если имеется двоичный формат, то восьмеричный и шестнадцатеричный получатся дроблением справа налево на триады (для 8 = 23) и тетрады (для 16 = 24).

Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную основан на представлении числа в форме Ap = an-1*pn-1 + an-2*pn-2 + … + a0*p0 + a-1*p-1 + a-m*p-m, где А — само число, p — основание системы счисления, ai — цифры данной системы

счисления, n — количество разрядов целой части числа, m — количество разрядов дробной части числа.

Перевести число 112 в десятичную систему счисления.

Перевести число 118 в десятичную систему счисления.

Перевести число 1116 в десятичную систему счисления.

Чему равна сумма 112 + 118 +1116 в десятичной системе счисления?

Последовательность 5516, 558, 557 упорядочена по убыванию значений, так как 5516 = 8510, 558 = 4510, 557 = 4010.

В какой системе счисления справедливо 21 + 24 = 100?

33

2 СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В ЭВМ

2.1 ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ

В вычислительных машинах применяются две формы представления чисел:

•естественная форма или форма с фиксированной точкой (СФТ)

•нормальная форма или форма с плавающей точкой (СПТ)

Числа СФТ изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Числа (521,377; 0,000238; -102013,036), записанные в разрядную сетку, К = 5, M = 5

+00521,37700; + 00000,00238; – 10201,30360.

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях.

Диапазон значащих чисел (N) в системе счисления с основанием Р при наличии k разрядов в целой части и m разрядов в дробной части числа (без учета знака числа) будет:

P−m ≤ N ≤ Pk − P−m , (при P=2, k=10 и m=6 получим 0,015 ≤ N ≤ 1024)

Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В современных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.

Числа СПТ изображаются в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая — порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок — целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:

N = ±MP± r ,

где М — мантисса числа (|М| < 1); r — порядок числа (r — целое число); P — основание системы счисления.

Вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа.

Любое целое число может быть без искажений преобразовано в вещественный формат

Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после запятой отлична от нуля. При выполнении этого требования число называется нормализованным.

Числа (521,377; 0,000238; -102013,036) в нормальной форме запишутся так:

Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и

является основной в современных ЭВМ.

Диапазон значащих чисел в системе счисления с основанием Р при наличии k разрядов у мантиссы и m разрядов у порядка (без учета знаковых разрядов порядка и мантиссы) будет:

P−k P−(Pm −1) ≤ N ≤ (1− P−k )P(Pm −1)

При Р = 2, k = 10 и m = 6 диапазон чисел простирается примерно от 10-19 до 1019.

Чем больше разрядов отводится под мантиссу, тем выше точность представления

числа.

Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего, отличного от нуля числа, до наибольшего, представимого в заданном формате.

Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой; код 0 означает знак «+», код 1 —

знак «–».

34

При кодированных способах изображения чисел количество разных знаков меньше, чем количество используемых в системе цифр. Каждая цифра кодируется определенной комбинацией из нескольких знаков. Так цифры десятичной системы счисления можно кодировать цифрами двоичной системы. В двоично-десятичной системе каждая цифра кодируется четырьмя

двоичными цифрами.

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами и в таком виде записываются последовательно друг за другом.

Двоичные коды десятичных и шестнадцатеричных цифр

Цифра 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Код 0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001 0111 0000 0011.

Шестнадцатеричное число F17B в двоичной системе выглядит так:

1111 0001 0111 1011

{ { { {

F 1 7 B

2.2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ЭВМ

Разрядная сетка машины имеет постоянное число разрядов.

При представлении чисел СФТ считают, что точка всегда находится перед старшим разрядом. Все числа, участвующие в вычислениях по модулю меньше единицы.

Диапазон изменения характеризуется пределами, в которых могут находиться

Для малых чисел ошибка может достигать большой величины.

Если число меньше минимального, то оно воспринимается как машинный нуль.

Если число больше максимального, то оно воспринимается как машинная бесконечность.

Для чисел СПТ абсолютная ошибка равна | X| ≤ 0,5*2-m, относительная |δX|min ≈ 2-(m+1), при m — большом, и |δX|max = 2-m.

Относительная ошибка для чисел СПТ не зависит от порядка числа.

Единицы измерения объемов информации, хранимой или обрабатываемой в ЭВМ

Биты в числе нумеруются справа налево, начиная с 0-го разряда.

Двоично-кодированные десятичные числа могут быть представлены в ПК полями переменной длины в упакованном и распакованном форматах.

35

Упакованный формат. Десятичной цифре отводится по 4 двоичных разряда (полбайта); знак числа кодируется в крайнем правом полубайте числа (1100 – знак «+» и 1101 – знак «-»).

Структура поля упакованного формата:

Байт

Упакованный формат используется обычно в ПК при выполнении операций сложения

ивычитания двоично-десятичных чисел.

Распакованный формат. Для каждой десятичной цифры отводится по целому

байту.

Старшие полубайты (зона) каждого байта (кроме самого младшего) заполняются кодом 0011 (в соответствии с ASCII-кодом). В младших полубайтах кодируются десятичные цифры. Старший полубайт самого младшего байта используется для кодирования знака числа.

Структура поля распакованного формата

Распакованный формат используется при вводе-выводе информации, при

выполнении операций умножения и деления двоично-десятичных чисел.

Пример. Число – 19310 = – 0001 1001 00112-10 а) в упакованном формате

б) в распакованном формате

0011 0001 0011 1001 1101 0011

Распакованный формат является следствием использования в ПК ASCII-кода для представления символьной информации.

Код ASCII (American Standard Code for Information Interchange — Американский стандартный код для обмена информацией) имеет основной стандарт и его расширение. Основной стандарт для кодирования символов использует шестнадцатеричные коды 00–7F, расширение стандарта — 80–FF. Основной стандарт является международным и используется для кодирования управляющих символов, цифр и букв латинского алфавита; в расширении стандарта кодируются символы псевдографики и буквы национального алфавита.

3 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

3.1 ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА

Для записи одного и того же числа в различных системах счисления необходимо различное число разрядов.

Чем меньше основание системы счисления, тем больше длина числа.

При выборе системы счисления для ЭВМ учитывают, что:

основание системы счисления определяет количество устойчивых состояний, которые должен иметь элемент ЭВМ (устройство, используемое для изображения разрядов числа);

длина числа существенно зависит от основания системы;

36

система счисления должна обеспечивать простые алгоритмы выполнения арифметических и логических операций.

Умножение многоразрядных чисел осуществляется путем образования частных произведений и их последующего суммирования.

В двоичной системе умножение сводится к операциям сдвига и сложения, деление —

коперациям вычитания и сдвига.

37

Последовательность вычислений при умножении Е54 на 8

————-

72100

А

3.2 ПРЯМОЙ, ОБРАТНЫЙ, ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОДЫ

Положительные числа во всех кодах одинаковы.

Старший разряд регистра — знаковый (0 — «+», 1 — «-»).

Для кодирования отрицательных чисел и выполнения действий над ними вводят

обратный и дополнительный коды.

Обратный код отрицательного двоичного числа получается, если:

•в знаковый разряд поставить единицу;

•во всех разрядах мантиссы сменить цифры. Обратный код — инверсия прямого.

Дополнительный код отрицательного двоичного числа получается, если:

•в знаковый разряд поставить единицу;

•во всех разрядах мантиссы сменить цифры;

•к младшему разряду мантиссы прибавить единицу и выполнить переносы, в том числе в знаковый разряд.

Дополнительный код = обратный код + 1 в младшем разряде.

Отрицательное число -2009 в 16-разрядном компьютерном представлении будет

равно …(Ответ: 1111100000100111)

При сложении чисел в обратном коде, складываются все n разрядов, включая знаковый. В случае возникновения переноса в знаковом разряде 1 добавляется к младшему разряду, т.е. выполняется циклический перенос.

При сложении чисел в дополнительном коде складываются все n разрядов, включая знаковый. В случае возникновения переноса в знаковом разряде 1 не добавляется к младшему разряду, а отбрасывается.

При сложении в прямом коде не делается перенос из старшего цифрового разряда в знаковый.

Пример 1. Сложение обратных кодов чисел.

Сумма обратных кодов равна обратному коду результата.

а)

0, 00100 = [Α]обр = А

+

0, 01100 = [В]обр = В

0, 10000 = [С]обр = С

В = 0, 01110 0, 01110 = [В]обр Выполняется циклический перенос, что

равноценно суммированию с 0, 00001.

1 0, 001 00

0, 00101 = [С]обр = С После циклического переноса.

38

Если числа разных знаков, то в прямом коде приходится выполнять операцию вычитания после предварительного сравнения кодов чисел. Результату приписывается знак большего числа. Эти дополнительные операции приводят к дополнительному усложнению

сумматора.

Пример 2. Сложение чисел, представленных в дополнительном коде.

Сумма дополнительных кодов есть дополнительный код результата.

а)

0, 01001 = [Α]доп = [Α]пр

+

0, 00101 = [В]доп = [В]пр 0, 01110 = [С]доп = [С]пр

Нет переноса из мантиссы в знаковый разряд.

в)

А = 0, 10001 = [Α]доп = [Α]пр

+

В = 0, 11111 = [В]доп = [В]пр

С = 1, 10000 При сложении положительных чисел в результате переноса в знаковом разряде

появилась единица. Результат неверен.

1 0, 00100 = [С]доп = [С]пр

39