Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

Аналитическая геометрия

Файл:

аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

282.5 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Учебный центр «Резольвента»

Доктор физико-математических наук, профессор

К. Л. САМАРОВ

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие по разделу

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

	ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
	СОДЕРЖАНИЕ
1	Скалярное произведение векторов …………………………………….. 3
2	Смешанное и векторное произведения векторов ……...........…………	6
3	Прямая на плоскости ………..…………………………………………..	9

4Кривые второго порядка на плоскости ………………………………... 17

5Плоскость и прямая в пространстве ………...…………………………. 21

6Понятие о поверхностях второго порядка в трехмерном пространстве.

Сфера и эллипсоид ……………..……………………………………	….. 27
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ………………………………………...	30
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ………………………..	32
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………... 33

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

1.СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

·Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, которое определяется по формуле

(a × b)=

× cosϕ,

где ϕ –

угол между векторами a и

b .

(

×b

)= 0 Û a

^ b .

·Пусть

a= (x1, y1, z1 ) , b = (x2 , y2 , z2 )

–декартовы координаты векторов. Тогда формула для скалярного произведения векторов в трехмерном случае имеет вид

r	r	+ y1 y2 + z1z2 ,
(a	×b )= x1x2	+ y1 y2 + z1z2 ,

а в двумерном случае

r	r	+ y1 y2 .
(a	× b )= x1 x2	+ y1 y2 .

·Длина вектора

r	=	r	×	r
a	=	(a	×	a) ,

причем в трехмерном случае

r
	= x 2	+ y	2 + z 2	,
a
	1	1	1

а в двумерном случае

a = x12 + y12 .

· Зная декартовы координаты векторов, можно найти угол между ними по формуле

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

(

)

c o s ϕ =

× b

x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2

x1 2 + y1 2 + z1 2 × x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 .

Ортогональная проекция вектора a на направление, заданное векто-

ром b , вычисляется по формуле

+ y

+ z

× b )

прbr

x2 2 + y2 2 + z2 2

Пример 1.1. Даны два вектора a и

= 1, а угол

b , причем

3 ,

- 2b .

ϕ между ними равен 300 . Найти длину вектора p = a

Решение.

- 4

×cosϕ + 4

= (a -

2b) =

- 4(a

×b)+b2 =

3- 4×

3 ×1×cos300 + 4×1 =

3- 4

3 ×

+ 4 =

7 -6 =1.

Пример 1.2. Даны два вектора a

= 1, а угол

b , причем

3 ,

ϕ между ними равен 300 . Найти угол

между векторами

+ 4b .

= a - 2b

q = 3a

Решение.

Поскольку

r 2

2 +

cos 300 +16

(3a + 4b )

= 3×3 + 24

×1×

+16 ×1 =

9 + 36 +16

а в примере 1.2. установлено, что

=1, то

r r

+ 4b )=

× b - 8b × b

(p × q )=

(a - 2b )×

(3a

× a -

6a × b +

= 3a 2 -

2a × b - 8b

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , resolventa@list.ru,

(495) 509-28-10

×cos300 -8

= 3

- 2

= 3×3- 2 3 ×1×

-8

×1 = 9 - 3-8 = -2.

Следовательно

-2

cosγ =

× q)

= -

1×

Поэтому

γ = arccos

= π - arccos

Пример 1.3. Пусть A(4; − 2),

B(10; 6),

C(5; − 4)

– декартовы координа-

ты вершин треугольника ABC. Найти длину высоты, опущенной из вершины

С.

Решение. Найдем сначала координаты векторов

AB и AC :

AB = (10 - 4; 6 + 2) = (6; 8) ,

AC = (5 - 4; - 4 + 2) = (1; - 2) .

Рассмотрим произвольный вектор N , перпендикулярный вектору AB , на-

пример, N = (8; −6) .

Тогда

uur

uuur

h =

uuur

( N

× AC)

8 ×1- 6 ×(-2)

8 +12

= 2 .

прuur AC

uur

64 + 36

100

Ответ: длина высоты, опущенной из вершины C, равна 2.

N C

A B

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

2.СМЕШАННОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

∙Пусть

a= (x1, y1, z1 ) , b = (x2 , y2 , z2 ), c = (x3 , y3 , z3 )

–декартовы координаты трех векторов. Смешанным произведением этих векторов называется число, которое определяется по формуле

		r	r r	x1	y1	z1
		r	r r	x2	y2	z2	.
		(a,b,c )=		x2	y2	z2	.
				x3	y3	z3
∙	r	r r
∙	Если (a,b,c )> 0 , то эти векторы образуют правую тройку (ориенти-

рованы так же, как и базисные векторы трехмерной системы координат).

∙	r r r
∙	Если (a,b,c )< 0 , то три вектора образуют левую тройку.
∙	r r r
∙	Если (a,b,c )= 0 , то три вектора лежат в одной плоскости (компла-
нарны).
∙	Если в треугольной пирамиде SABC с вершиной S SA = a , SB = b ,
SC = c , то объем пирамиды
		1	r r r
		1	r r r
	V =		(a, b, c )	.
∙	V =	6	(a, b, c )	.
		6	c построен параллелепипед, то его
	Если на трех векторах a , b ,		c построен параллелепипед, то его
объем

= (r r r)

V a,b, c .

∙Пусть

a= (x1, y1, z1 ) , b = (x2 , y2 , z2 )

–декартовы координаты двух векторов. Векторным произведением этих векторов называется вектор, который определяется по формуле

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,			www.resolventa.ru ,						resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
								r	r	r
				r r	r	r		i	j	k
				r r	r	r	=	x	y z		,
				a,b	= a	´b	=	x	y z		,
								1	1	1
								x2	y2	z2
где символами i ,		j , k	обозначены единичные базисные векторы декартовой
трехмерной системы координат.
∙	r	×b перпендикулярен вектору a и вектору b .
∙	Вектор a	×b перпендикулярен вектору a и вектору b .

∙	Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только
тогда, когда эти векторы лежат на одной прямой (коллинеарны).
∙	Если векторы a и b неколлинеарны, то векторы a , b и	r	×b	в ука-
		a

занном порядке образуют правую тройку векторов.

∙Справедливо соотношение

×sinϕ ,

´b

где через ϕ обозначен угол между векторами a и b .

∙

Площадь параллелограмма,

образованного векторами a и b ,

вы-

числяется по формуле

S =

a ×b

∙

и c

связано с вектор-

Смешанное произведение трех векторов a, b

ным и скалярным произведениями векторов по формуле:

r r r

(a,b,c )= a

×c .

Пример 2.1. Пусть P (-4;-2;3),

A(−1; 0; 2), B (3; −3; 4), C (− 4;5; 6) –

де-

картовы координаты вершин пирамиды. Найти:

а) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины P; б) объем пирамиды.

Решение. Найдем сначала какой-нибудь вектор, перпендикулярный плоскости ABC. В частности, таким вектором является вектор

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

ООО «Резольвента»,	www.resolventa.ru ,					resolventa@list.ru,			(495) 509-28-10
		r	r	r
r uuur uuur		i	j	k	r	r	r
r uuur uuur	=		-3		r	r	r	= (-22;	-22; 11) .
N = AB ´ AC	=	4	-3	2	= -22i	- 22 j	+11k	= (-22;	-22; 11) .
		-3	5	4

Поскольку AP = (-3;-2; 1) , то длина высоты пирамиды, опущенной из верши-

ны P, вычисляется по формуле:

uur

uuur

H =

uuur

( N

× AP)

-22(-3) - 22(-2) +11×1

66 + 44 +11

121

прNr AP

uur

(-22)2 + (-22)2 +112

11 4 + 4 +1

11×3 3

Найдем теперь объем пирамиды:

					4	-3	2

		1	uuur uuur uuur						11
VPABC	=		(AB, AC, AP)	=	-3	5	4	=		.

	6				-3	-2	1	6

Ответ: H = 11,V = 11 . 3 6

3. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

∙ Если точка M 0 = M 0 (x0 ; y0 ) лежит на отрезке M1M 2 (М1= (x1; x2), М2= (x2; y2)), причем

λ= M1M 0 , M 0 M 2

то

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

x =	x1 + λx2	, y =	y1 + λy2	.
	1 + λ
0		0	1 + λ

M2 (x2; y2)

M0 (x0, y0)

M1 (x1; x2)

∙Общее уравнение прямой L на плоскости имеет вид

Ax + By +C = 0.

∙Вектор N = ( A; B) перпендикулярен прямой L .

∙Вектор M = (−B; A) параллелен прямой L .

∙Уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (x0 ; y0 )

ипараллельной вектору l = (m; n) , имеет вид

x − x0 = y − y0 .

∙Уравнение прямой, проходящей через две точки М1 = (x1; x2) и

М2 = (x2; y2), имеет вид

x − x1			=	y − y1			.
x		− x
	2			y	2	− y
		1				1

∙Прямая может быть задана уравнением

y= kx + b ,

вкотором угловой коэффициент k = tgα , где α – угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ.

∙Уравнение прямой, пересекающей оси координат OX и OY в точках

скоординатами (a;0) и (0;b), имеет вид

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

x + y = 1. a b

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

·Неравенства

Ax + By + C > 0 и Ax + By + C < 0

задают полуплоскости.

·Расстояние от точки M 0 (x0 ; y0 ) до прямой Ax + By +C = 0 вычисля-

ется по формуле

Ax + By + C

d (M 0 ; L) = 0 2 + 0 2 .

A B

· Две прямых A1x + B1 y +C1 = 0 и A2x + B2 y +C2 = 0 параллельны тогда и только тогда, когда векторы N1 = ( A1; B1 ) и N2 = ( A2 ; B2 ) коллинеарны.

∙Две прямых A1x + B1 y +C1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 = 0 перпендикулярны то-

гда и только тогда, когда векторы N1 = ( A1; B1 ) и N2 = ( A2 ; B2 ) перпендикулярны. В этом случае A1 A2 + B1B2 = 0 .

· Угол ϕ между прямыми A1x + B1 y +C1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 = 0 находится с помощью соотношения

cosϕ =	(N1		× N2 )		.
	(N1		× N2 )

		N1	×	N2
		N1	×	N2

· Если две прямые заданы уравнениями y = k1x + b1 и y = k2 x + b2 , то угол между ними находится с помощью соотношения:

tgϕ = k2 − k1 . 1 + k1k2

Пример 3.1. Прямая L задана уравнением 5x + 4 y −1 = 0 . Составить урав-

нения прямой L1 , проходящей через точку M 0 (3; −7) и параллельной прямой

L .

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 10

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>