dm_tema_2
.pdf
2. Комбинаторика |
2.5 Число функций |
Теорема
Пусть jAj = m, jBj = n, m n. Число всех сюръекций f : A ! B равно
n 1
X
( 1)k Cnk (n k)m:
k=0
Доказательство.
Пусть F множество всех функций f : A ! B. Множество сюръекций
Fs = ff 2 F j 8y 2 B 9x 2 A : y = f (x)g:
Е.А.Перепелкин (АлтГТУ) |
Дискретная математика. Тема 2 |
2012 |
31 / 34 |
2. Комбинаторика |
2.5 Число функций |
Обозначим
B = fy1; : : : ; yng; Fi = ff 2 F j yi 2= f (A)g:
Тогда |
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fs = Fi : |
|
||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jFs j = |
\ |
Fi |
|
= jF j |
X jFi j |
X jFi \ Fj j+ |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
1 i n |
1 i<j n |
|
+ |
X |
|
jFi \ Fj \ Fk j + ( 1)n 1jF1 \ \ Fnj!: |
|
1 i |
n |
|
||
|
<j<k |
|
|
|
Е.А.Перепелкин (АлтГТУ) |
Дискретная математика. Тема 2 |
2012 |
32 / 34 |
2. Комбинаторика |
2.5 Число функций |
Учитывая, что
jF j = nm; jFi j = (n 1)m; jFi \ Fj j = (n 2)m; : : : ;
получим
jFs j = nmCn0 (n 1)mCn1 + (n 2)mCn2 : : : :
Е.А.Перепелкин (АлтГТУ) |
Дискретная математика. Тема 2 |
2012 |
33 / 34 |
2. Комбинаторика |
2.5 Число функций |
Пример
Сколькими способами можно разместить 5 различных марок в 3 различных конверта, если в каждом конверте должна быть по крайне мере одна марка?
Для решения этой задачи применим теорему о числе сюръекций. В данном случае m = 5, n = 3. Следовательно, число способов
размещения марок равно
35C30 25C31 + 15C32 = 150:
Е.А.Перепелкин (АлтГТУ) |
Дискретная математика. Тема 2 |
2012 |
34 / 34 |