dm_tema_3

Таблицы истинности основных булевых функций двух аргументов:

Булеву функцию можно задать:

1)в виде формулы;

2)в виде таблицы значений;

3)в виде вектора значений;

4)в виде множества номеров наборов значений переменных, на которых функция принимает значение 1.

При заполнении таблицы значений булевой функции наборы значений переменных пронумеруем от 0 до 2n 1. Значения переменных есть

цифры двоичной записи этих номеров.

Пример

Мажоритарная функция (функция голосования) принимает значение 1, если более половины переменных имеют значение 1, иначе значение функции равно 0.

Мажоритарную функцию можно записать в виде формулы. При n = 3 получим

f (x1; x2; x3) = x1 ^ x2 _ x1 ^ x3 _ x2 ^ x3; f (x1; x2; x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3:

Таблица значений мажоритарной функции

Вектор значений мажоритарной функции

f = (0; 0; 0; 1; 0; 1; 1; 1):

Множество номеров наборов переменных, на которых мажоритарная функция принимает значение 1,

f = f3; 5; 6; 7g

Определение

Переменная xi называется фиктивной переменной булевой функции f (x1; : : : ; xn), åñëè

f (x1; : : : ; xi 1; 0; xi+1; : : : ; xn) = f (x1; : : : ; xi 1; 1; xi+1; : : : ; xn)

для всех наборов значений переменных fx1; : : : ; xi 1; xi+1; : : : ; xng. Иначе переменная называется существенной.

Фиктивные переменные можно удалить из булевой функции и тем самым уменьшить число переменных.

Пример Рассмотрим булеву функцию тр¼х переменных

Переменные x, z являются существенными. Переменная y фиктивная.

Удалим переменную y из таблицы. Получим функцию g(x; z) с таблицей значений

Отметим, что g(x; z) = x z.

Определение

Две формулы алгебры высказываний называются равносильными, если соответствующие булевы функции совпадают.

Равносильные формулы (законы алгебры логики):

Доказать справедливость законов алгебры логики можно на основе таблиц истинности соответствующих функций.

Например, для закона де Моргана

x _ y = x ^ y

получим следующую таблицу