Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

neopred_int(математика)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

∫e2 x cos(x)dx = e2 x sin(x) − 2(−e2 x cos(x) + 2∫e2 x cos(x)dx)=

= e2 x sin(x) + 2ex cos(x) − 4∫e2 x cos(x)dx .

Обозначается, ∫e2 x cos(x)dx = I . Тогда I = e2 x sin(x) + 2e2x cos(x) − 4I .

Следовательно, ∫e2 x cos(x)dx =	e2 x	(sin(x) + 2cos(x)) +C.

5
h) ∫sin(ln( x))dx

Интегрируется по частям: пусть u = sin(ln(x)), dv = dx; тогда

du = cos(ln(x)) 1x dx, v = x . Следовательно,

∫sin(ln(x))dx = x sin(ln(x)) − ∫cos(ln(x)) 1x xdx = x sin(ln(x)) − ∫cos(ln(x))dx .

Еще раз интегрируется по частям: пусть u = cos(ln(x)), dv = dx; тогда

du = −sin(ln(x))		1	dx, v = x . Получается,
du = −sin(ln(x))			dx, v = x . Получается,
		x
∫sin(ln(x))dx =				+ ∫sin(ln(x))	1
	x sin(ln(x)) − x cos(ln(x))					xdx	=
	x sin(ln(x)) − x cos(ln(x))				x	xdx	=
					x
= x sin(ln(x)) − x cos(ln(x)) − ∫sin(ln(x))dx.
Обозначают,		∫sin(ln(x))dx = I . Тогда I = x sin(ln(x)) − x cos(ln(x)) − I.

Следовательно, I = 2x (sin(ln(x)) −cos(ln(x)))+C.

k) ∫ln(x + x 2 +1)dx

Интегрируется по частям: пусть u = ln(x + x2 +1), dv = dx;

тогда du =	dx	, v = x .
	x2 +1
Следовательно,
∫ln(x + x 2	+1)dx = x ln(x + x 2 +1)− ∫		xdx =	x2 +1 = t; x2 +1 = t; =
			x 2 +1	2xdx = 2tdt; xdx = tdt.

= x ln(x +	x2 +1)−∫dt = x ln(x + x2 +1)−t +C =
= x ln(x +	x2 +1)− x2 +1 +C.

Приведем в таблице 2 некоторые распространённые случаи использования метода интегрирования по частям.

Таблица 2.

вид интеграла

метод интегрирования

∫Pn (x) ekx dx ,

За u принимается многочлен

Pn (x), а за dv все

∫Pn (x) sin(kx)dx ,

остальные подынтегральные выражения.

∫Pn (x) cos(kx)dx .

∫Pn (x) ln(x)dx ,

За dv принимается Pn (x)dx , а за u все остальные

∫Pn (x) arcsin(x)dx ,

подынтегральные выражения.

∫Pn (x) arccos(x)dx ,

∫Pn (x) arctg(x)dx ,

∫Pn (x) arcctg(x)dx .

∫emx sin(kx)dx ,

данные бесконечные интегралы, решаются как

∫emx cos(kx)dx ,

уравнения, после двукратного интегрирования

по частям.

∫sin(ln x)dx ,

∫cos(ln x)dx .

∫ a2 − x2 dx ,

За dv принимается dх, а за u остальные подын-

∫ a2 + x2 dx , a > 0.

тегральные выражения.

1.3. Интегрирование рациональных дробей

Дробно-рациональной

функцией

называется

функция вида:

f (x) =

Qm (x)

, где Qm (x) - многочлен степени m, Pn (x) - многочлен степени n.

P (x)

Замечание: Если m < n, то рациональную дробь называется правиль-

ной. Если m ≥ n, то рациональную дробь называется неправильной.

Примеры:

a) ∫

7dx

3x + 4 = t;

−2

t −1

dx =

∫t

dt =

+ C = −

+ C ;

(3x + 4)2

(−1)

3(3x + 4)

x −3 = t;

b) ∫ 7 − x2 + 6x dx =

∫ 16 − (x −3)2 dx =

dx = dt

= ∫ 16 −t 2 dt =13∫

16 −t 2

x −3

=13arcsin

+C =13arcsin

+C .

7x − 2

84x − 24

6x −5 = t; x =

t +5

;

c) ∫

= ∫

dx =

∫

dx =

−5x +

36x

−60x +

(6x −

+ 23

dx =

∫

14t + 70 − 24

∫

tdt

∫

ln(t

+ 23)

t + 23

3 t

arctg

+C =

3 23

ln 36x

−60x + 48 +

6x −5

arctg

+C;

8x +5

dx =

4(2x − 2) +13

dx =

2x − 2

dx +13

∫(x2

− 2x +17)2

∫

∫(x2

− 2x +17)2

∫((x −1)2 +16)2

(x2 − 2x +17)2

t = x2 − 2x +17,

y = x −1

= 4∫

+13∫

= −

+13∫

dt = (2x − 2)dx,

dy = dx

( y2 +16)2

x2 − 2x +17

( y2 +16)2

= −

x −1

arctg

x −1

+ C .

2 − 2x +17

+17

x2 − 2x

Интеграл ∫

вычисляется с помощью:

+16)

• рекуррентной формулы: Она выведена в курсе математического ана-

лиза: ∫

2n − 3

∫

+ s)

s(2n − 2)(t

+ s)

n−1

s(2n − 2)

+ s)

n−1

Следовательно,

∫

arctg

+C.

+16)

1 16

32(y

16)

+16)

•

интегрирования по частям:

16 + y2 − y

∫

dx =

∫

−

∫(y2 +16)dy =

(y2 +16)2

y2 +16

y ydy

u = y; du = dy;

arctg

−

∫

ydy

(y2 +16)2

2(y2 +16).

(y2 +16)

;v = −

∫

arctg

−

+16)

2(y

+16

arctg

−

arctg

+C =

arctg

+C.

32(y2 +16)

128

32(y2

+16)

В таблице 3 приведены общие виды правильных рациональных дробей и способы их интегрирования с помощью замены переменной.

Таблица 3.

№

подынтегральное

преобразования

замена

выражение

ax + b = t

dx =

ax +b

II.

ax +b = t

dx =

(ax +b)m

dx = dt

III.

p 2

x +

= t

x + px + q

x +

−

+ q

Mx + N

dx = dt

и расклады-

IV.

p 2

x +

= t,

вается на сумму

x + px + q

x +

−

+ q

двух интегралов

p 2

p2 n

dx = dt

x +

= t

+ px + q)

x +

q −

и применяется

рекуррентная формула

∫

2n − 3

∫

+ s)

s(2n − 2)(t

+ s)

n−1

s(2n − 2)

+ s)

n−1

m, n – натуральные числа (m ≥ 2, n ≥ 2) и D <0.

Подынтегральные выражения не вошедшие в таблицу 3 интегрируются с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Теорема (метод неопределенных коэффициентов). Если f (x) = Q(x)

P(x)

- правильная рациональная дробь, где знаменатель имеет вид:

P(x) = (x - a)α…(x - b)β(x2 + px + q)λ…(x2 + rx + s)μ ) (причем множите-

ли типа x2+px+q неразложимы на действительные множители первой степени), то эта дробь может быть разложена на сумму простейших дробей:

Q(x)

+... +

Bβ

x + N

P(x)

x − a

(x − a)2

(x − a)α

(x −b)

−b)2

(x −b)β

+ px + q

x + N

+...

x + N

+... +

R x + S

x + S

+... +

Rμ x + Sμ

(x2

+ px + q)2

(x2 + px + q)λ

+ rx + s

(x2 + rx + s)2

(x2 + rx + s)μ

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

Примеры:

a) ∫

9x3 −30x2 + 28x −88

dx = ∫

9x3 − 30x 2 + 28x −88

dx = ∫

Cx + D

−6x +8)(x

+ 4)

(x − 2)(x − 4)(x

+ 4)

x −

+ 4

Подынтегральное выражение представляется в виде суммы простейших

дробей	9x3 −30x2 + 28x −88	=	A		+	B		+	Cx + D	.
	(x − 2)(x − 4)(x2 + 4)		x −	2		x −	4
									x2 + 4

После освобождения от знаменателей, получается:

A(x − 4)(x2 + 4) + B(x − 2)(x2 + 4) + (Cx + D)(x2 −6x +8) = 9x3 −30x2 + 28x −88 .

(A + B +C)x3 + (−4A − 2B −6C + D)x2 + (4A + 4B +8C −6D)x + (−16A −8B +8D) = = 9x3 −30x2 + 28x −88.

Сгруппировываются члены с одинаковыми степенями:

A + B +C = 9

− 4A − 2B −6C + D = −304A + 4B +8C −6D = 28−16A −8B +8D = −88

C = 9 − A − B

D = −30 + 4A + 2B +54 −6A −6B2A + 2B + 4C −3D =14

2A + B − D =11

C = 9 − A − B

D = 24 − 2A − 4B

2A + 2B +36 − 4A − 4B −72 + 6A +12B =14

2A + B − 24 + 2A + 4B =11

C = 9 − A − BD = 24 − 2A − 4B

4A +10B = 50

4A +5B = 35

C = 9 − A − B			C = 9 − A − B
	4B			− 2A −	4B
D = 24 − 2A −	4B		D = 24	− 2A −	4B

4A +10B = 50			4A +10B = 50
50 −10B +5B =		35	B = 3

A = 5

B = 3C =1

D = 2

В итоге получается:

∫

dx +

∫

dx + ∫

+ 2

dx =

5ln

x − 2

+3ln

x − 4

+ ∫

dx + ∫

dx =

−

x − 4

+ 4

= 5ln

x − 2

+3ln

− 4

ln(x

+ 4)

+ arctg

+C.

b) ∫

6x5

−8x4

− 25x3 + 20x2 −76x −7

dx .

− 4x

−17x + 6

Так как дробь неправильная, то выделяется целая часть:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7

3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2

2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

Следовательно,

20x2 – 25x – 25

20x

2 − 25x − 25

4x2 −

5x −5

+3 +

dx =

3dx +5

dx =

+3x +

3x3 −

4x2 −17x +

∫

∫3x3 − 4x2

−17x + 6

∫

+5∫

4x2

−5x −5

dx.

− 4x

−

17x + 6

Для

нахождения корней уравнения

3x3 − 4x2 −17x + 6 = 0

применяем

схему Горнера:

коэффициенты перед x

ре

– 4

– 17

– 2

–

ше

– 2

– 1

–

ние

1/3

–

Получаются:

3x3 − 4x2 −17x + 6 = 3(x −3)(x + 2)(x −1/ 3) .

Следовательно, корни этого уравнения: 3; -2; 1/3.

Отсюда ∫			4x2 −		5x −	5	dx = ∫	4x2 −5x −5	.
	3x	3	− 4x	2	−17x + 6			(x −3)(x + 2)(3x −1)

Получившееся подынтегральное выражение раскладывается на элементар-

ные дроби:	4x2 −5x −5	=	A		+	B		+	C
	(x −3)(x + 2)(3x −1)		x −	3		x +	2		3x −1

A(x + 2)(3x −1) + B(x −3)(3x −1) +C(x −3)(x + 2) = 4x2 −5x −5

Применяем метод произвольных значений, суть которого состоит в том, что в полученное выражение подставляем поочередно (по числу неопределенных коэффициентов) значения х. Для упрощения вычислений принимают точки, при которых знаменатель дроби равен нулю. В нашем случае: 3, -2, 1/3. Получаем:

40A =16

A = 2 / 5

35B = 21

B = 3/ 5

C =1

В итоге получаем:

∫

6x5

−8x4

− 25x3 + 20x2 −76x −7

dx =

+3x +9∫

+ 6∫

+15∫

− 4x

−17x + 6

x +

x −

3x −1

=23 x3 +3x +9ln x + 2 + 6ln x −3 +5ln 3x −1 +C.

1.4.Интегрирование тригонометрических функций

•Метод тождественных преобразований.

Примеры:

a) ∫sin	4	1			1		2	1			2
		(x)dx = ∫		−		cos(2x) dx =			∫(1	−cos(2x))		dx =
		(x)dx = ∫	2	−	2	cos(2x) dx =		4	∫(1	−cos(2x))		dx =
			2		2			4

=14 ∫(1− 2cos(2x) + cos2 (2x))dx == 14 ∫dx − 12 ∫cos(2x)dx + 14 ∫cos2 (2x)dx =

=4x − 14 sin(2x) + 14 ∫12 (1+ cos(4x))dx = 4x − sin(24 x) + 18 [∫dx + ∫cos(4x)dx]=

=x − sin(2x) + x + sin(4x) = 1 3x −sin(2x) + sin(4x) +C. 4 4 8 32 4 2 8

b) ∫sin(2x) cos(5x)dx = ∫					sin(2x +5x) +sin(2x −5x)			1	∫sin(7x)dx −	1	∫sin(3x)dx =
							dx =
						2	dx =	2		2
						2		2		2
= −	cos(7x)	+	cos(3x)	+C
= −		+		+C
14		6

• Метод замены переменной.

Примеры:

c) ∫

cos7

(x)dx

sin(x) = t;cos(x)dx = dt;

= ∫

(1−t 2 )3

dt = ∫

−3t 2 +3t 4

−t 6

dt =

sin

(x)

cos

(x) =

1−sin

(x)

= ∫

−3∫

+3∫dt − ∫t

2 dt = −

+3t −

t 3

= −

+3sin(x) −

sin3 (x)

+C.

3sin3

(x)

sin(x)

d) ∫

sin( 4 x) dx

cos 2 (2 x) = t

− dt

2 cos( 2 x) (−sin( 2 x)) 2 dx = dt

= ∫

cos

(2 x) +

+ 4)

sin( 4 x)dx =

− dt

(2x)

cos

− arctg

= −

arctg

+ C =

+ C.

e) ∫

∫

= ∫(1+tg 2 x)

tgx = t

= ∫(1+t 2 )dt =

= dt

x cos

cos

= t +

t 3

+C = tgx +

3 x

+C.

• Метод универсальной тригонометрической подстановки

(универсальной замены).

Примеры:

2dt

t = tg

;dx

;

1+t 2

f) ∫

= ∫

1+t 2

4sin(x) +3cos(x) +5

sin(x) =

;cos(x) =

1−t

1+t

1+t 2

= 2∫

= ∫

= −

+ C =

3 − 3t

+ 5

+ 5t

+ 8t + 8

+ 4t + 4

+ 2

= −

+ C.

+ 2

t = tg(x);dx

;

g) ∫

+t 2

= .

sin

(x) + 6sin(x) cos(x) −16cos

(x)

sin 2 (x) =

;cos2 (x) =

+t 2

= ∫

=∫

tg(x) +3 −5

+C =

tg(x) − 2

+C.

6t −16

+3)

− 25

tg(x) +3 +5

tg(x) +8

h) ∫

cos2 (x)

dx = ∫

cos2 (x)

dx = ∫

ctg 2 (x)

dx =

sin

(x) + 4sin(x) cos(x)

sin

(x) (1+ 4ctg(x)

1+ 4ctg(x)

ctg(x) = t, x = arcctg(x)

= −∫

dx = −

1+ 4t

1+t 2

1+t

Интеграл вычисляется методом неопределенных коэффициентов:

Bt +C

A(t 2 +1) +(Bt +C)(4t +1)

t 2

(A +4B) +t(B +4C) +(A +C)

−t 2

4t +1

t2 +1

(4t +1)(t 2 +1)

(4t +1)(t

+1)

A = −

A + 4B = −1

=0 B

A +C = 0 17

C = 1

17B + 4C = −

Получается:

−

t +

4t −1

dt = −

= −

ln(4t +1)

+ 2

dt −

∫ 4t +

∫4t +1

∫t 2 +1

∫t 2

t 2 +1

− ∫

= −

ln(4t

1) +

2 ln(t

+1) − arctg(t) + C =

= −

ln(4ctg(x) +1) + 2ln(ctg 2 (x) +1) − arctg(ctg(x))

+ C

2ln(ctg 2 (x) +1) − (

= −

ln(4ctg(x) +1) +

− x)

+ C .

Учитывая выше сказанное, представим основные типы тригонометрических функций в виде таблицы 4.

Таблица 4.

№

подынтегральное

замена

выражение

универсальная замена

R(sin(x),cos(x))dx

t = tg

, x = 2arctg(t),

dx =

2dt

−t 2

1+t 2

sin(x)

,cos(x) =

+t 2

R(sin n (x),cosm (x))dx,

t = tg(x),sin

(x) =

t 2

+t 2

dx =

nиm −четныечисла

1+t 2

cos

1+t 2

R(tg(x))dx

t = tg(x), x = arctg(t)

dx =

1+t 2

R(ctg(x))dx

t = ctg(x), x = arcctg(t)

dx = −

+t 2

R(sin n (x),cosm (x))dx,

cos(x) = t

sin(x)dx = −dt

n −нечетная,

sin 2 (x) =1−cos2 (x) =1−t 2

m −четная.

R(sin n (x),cosm (x))dx,

sin(x) = t

cos(x)dx = dt

n −четная,

cos2 (x) =1−sin 2 (x) =1−t 2

m −нечетная.

R(tg m (x)secn (x))dx,

tg(x) = t ,

1+tg 2 (x) = sec2 (x)

sec2 (x)dx = dt

R(ctg m (x) cscn (x))dx,

ctg(x) = t ,

1+ ctg 2 (x) = csc2 (x)

− csc2 (x)dx = dt

n −четное, n > 0

Понижается степень по

формуле

sin 2n (x) cos2m (x)dx

cos2 (x) =

1 + cos(2x)

, sin 2 (x) =

1 − cos(2x)

, sin(x) cos(x) =

sin(2x)

sin(αx) cos(βx)dx,

sin((α − β)x) +sin((α + β)x) , cos((α − β)x) −cos((α + β)x) ,

sin(αx) sin(βx)dx,

cos((α − β)x) + cos((α + β)x)

cos(αx) cos(βx)dx.

Применяются рекуррентные формулы

2n+1

∫

2n+1

(x)dx =

sin(x)

∫

2n−1

(x)dx

R(sec (x))dx,

sec

+ 1

−

sec

2n cos2n (x)

R(csc2n+1 (x))dx.

2n+1

−cos(x)

2n−1

∫csc

(x)dx =

+ 1

−

∫csc

(x)dx

2nsin

(x)

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sin(x) и cos(x) . Функции sec(x)=1/cos(x) и csc(x)=cosec(x)=1/sin(x).

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025463 Кб3MU_VKR-bakalavry (1).doc
#
01.04.2025256 Кб1My.doc
#
01.05.2025105 Кб1Nachertatelnaya-geometriya-i-inzhenernaya-grafi...doc
#
01.07.2025113 Кб0NALOGI.docx
#
14.02.20152 Мб12nalogovyy-kodekss-chast-1.doc
#
14.02.20151 Мб35neopred_int(математика).pdf
#
01.07.20256 Мб1NOVOE_RASChET_ZAD.doc
#
31.07.201945 Кб20nReferat.ru - Metodika Obucheniya Barernomu Beg....doc
#
14.02.20151 Мб38nwpi221.pdf
#
14.02.20151 Мб81O.A.Platonov-Russkaya_pravda.pdf
#
01.05.2025330 Кб8OAU_2013.docx