учебник(математика)

При увеличении h полуоси эллипса увеличиваются (рис.6.4.).

Рис.6.4.

62

6.5. Гиперболический параболоид.

Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнения которой имеет вид

Отметим свойства гиперболического параболоида, вытекающие из опре- деления:

1)ось Оz ― ось симметрии поверхности;

2)поверхность симметрична относительно координатных плоскостей

OXZ и OYZ.

Для того, чтобы построить двуполостной гиперболоид, применим метод параллельных сечений (рис.6.5.).

63

Рассечем поверхность плоскостями z = h , параллельными плоскости

.

При h = 0 получим в сечении точка О(0; 0; 0) .

При увеличении h полуоси эллипса увеличиваются (рис.6.6.).

Рис.6.6.

6.7. Цилиндрические поверхности.

Определение: Цилиндрической поверхностью называется такая по-

верхность, каноническое уравнение которой не содержит одной из коорди- нат, например, z : F(x, y) = 0 .

65

На плоскости Оху это уравнение определяет некоторую линию l (рис. 6.7.).

Рис.6.7.

Пусть М(х, у, 0) l , т.е. координаты точки M удовлетворяют уравне- нию F(x, y) = 0 . Но этому уравнению будут удовлетворять координаты лю-

бой точки М*(х, у, z).

Следовательно, уравнение F(x, y) = 0 описывает поверхность, проекти- рующуюся на плоскость Оху в кривую l .

Такую поверхность можно образовать движением прямой линии, парал- лельной оси Оz, по кривой l . Кривая l называется направляющей, прямые, параллельные оси Оz, называются образующими. Образованная таким обра-

зом поверхность называется цилиндрической поверхностью.

В зависимости от типа направляющей l цилиндрическая поверхность называется:

1.Эллиптическим цилиндром (рис. 6.8.).

Рис.6.8.

2.Гиперболическим цилиндром (рис. 6.9.).

66

Пусть M(x,y,z) произвольная точка поверхности вращения S. Произве- дем сечение поверхности S плоскостью, проходящей через точку М перпен- дикулярно оси Oz. Точки пересечения этой плоскости с кривой L и осью Oz обозначим соответственно N(0,Y,Z) L и A( 0, 0, z ) Oz .

Очевидно, АМ = AN = | Y | как радиусы одной и той же окружности, причем

| Y | = x2 + y2 или Y = ± x2 + y2 и z = Z .

Так как точка N(0,Y,Z) L , то ее координаты Y и Z удовлетворяют вто- рому из уравнений системы для линии L , то есть

F(± x 2 + y 2 , z ) = 0.

Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M(x,y,z) по- верхности вращения. Таким образом, последнее уравнение является уравне- нием поверхности вращения линии L вокруг оси Оz .

Таким образом, мы приходим к следующему правилу: чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L , лежащей в плос- кости yOz, вокруг оси Oz, нужно в уравнении этой линии заменить y на

± x 2 + y 2 .

При выборе знака перед радикалом следует придерживаться следующего правила: знак должен совпадать в соответствующих точках со знаком коор- динаты y на исходной кривой.

Совершенно аналогичные правила будут для получения уравнений по- верхностей вращения, получающихся вращением плоских линий вокруг дру- гих координатных осей.

Пример. Найти уравнение поверхности, если прямую y = x − 1 вращать вокруг оси Ox.

Решение. Т.к. вращение прямой линии происходит вокруг оси Ox, то в силу изложенного выше нам нужно в данном уравнении y = x − 1 заменить y

на ± y 2 + z 2 .

В результате получим ± y 2 + z 2 = x − 1. Возведя обе части этого соот- ношения в квадрат, получим уравнение конуса с вершиной в точке M 0 (1,0,0)

y 2 + z 2 = (x − 1)2 .

Рис.6.12.

68

6.9.Контрольные вопросы к § 6.

1.Дайте определение поверхности второго порядка.

2.Что называется цилиндрической поверхностью? Приведите примеры.

3.Что называется поверхностью вращения?

4.Дайте определение эллипсоида. Исследуйте форму эллипсоида с помощью метода параллельных сечений.

5.Запишите канонические уравнения однополостного и двуполостного ги- перболоидов, а также эллиптического и гиперболического параболоидов. Исследуйте форму данных поверхностей с помощью метода параллельных сечений.

6.Что называется конической поверхностью?

7.Запишите каноническое уравнение конуса второго порядка.

69

Задания по аналитической геометрии.

Задание 01. Написать уравнение плоскости проходящей через точку A пер-

пендикулярно вектору BC

70