Лекция 11. Поверхности второго порядка
Определение. Поверхности второго порядка - это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.
1. Цилиндрические поверхности
Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какойлибо фиксированной прямой.
Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z , т.е. направляющие параллельны осиOz . Тип линии на плоскости XOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности.
Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:
|
x |
2 |
2 |
|
|
1. |
|
+ |
y |
= 1 - эллиптический цилиндр. |
|
a |
2 |
2 |
|||
|
|
|
b |
||
2. |
x2 |
− |
y |
2 |
= 1 - гиперболический цилиндр. |
||
a |
2 |
b |
2 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
3. x2 = 2 py - параболический цилиндр.
46
2. Поверхности вращения
Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d , называется поверхностью вращения с осью вращения d .
Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид: F(x2 + y2 , z) = 0 , то эта поверхность - поверхность вращения с осью вращения Oz .
Аналогично: F(x2 + z2 , y) = 0 - поверхность вращения с осью вращения Oy , F(z2 + y2 , x) = 0 - поверхность вращения с осью вращения Ox .
Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:
1. |
x2 |
+ y2 |
+ |
|
z2 |
= 1 - эллипсоид вращения |
|||||
|
a |
2 |
|
c |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
x2 |
+ y2 |
|
− |
z2 |
|
|
= 1 - однополостный гиперболоид вращения |
|||
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
a |
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
x2 |
+ y2 |
|
− |
z2 |
|
= −1 - двуполостный гиперболоид вращения |
||||
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
a |
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
x2 |
+ y2 |
|
= 2z - параболоид вращения |
|||||||
|
a2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ox или Oy .
Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:
Сфера
(x − a)2 + ( y − b)2 + (z − c)2 = r2
47
Трехосный эллипсоид:
x |
2 |
+ |
y |
2 |
+ |
z |
2 |
= 1 |
|
a |
2 |
b |
2 |
c |
2 |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.
Однополостный гиперболоид:
x |
2 |
+ |
y |
2 |
− |
z |
2 |
= 1 |
|
a |
2 |
b |
2 |
c |
2 |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
48
Двуполостный гиперболоид:
x2 |
+ |
y2 |
− |
z2 |
= −1 |
|||
|
2 |
|
|
|||||
a |
|
b |
2 |
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эллиптический параболоид: x2
a2
+ |
y |
2 |
= 2z, где p > 0, q > 0 |
|
b |
2 |
|||
|
|
|||
|
|
|
49
Гиперболический параболоид:
x |
2 |
− |
y |
2 |
= 2z |
|
a |
2 |
b |
2 |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
Конус второго порядка:
x |
2 |
+ |
y |
2 |
− |
z |
2 |
= 0 |
|
a |
2 |
b |
2 |
c |
2 |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
51