Высшая математика

ar ar =

ar

2 cos 0 =

ar

2

ar

= ar ar .

(7)

r

v

v

= 0 .

(8)

a

b a

b

ar b = axbx + ayby + azbz .

(9)

uur

r

Пример 8. Вычислить скалярное произведение векторов AB

и a , если

А(1; 2; –1), В(0; 3; 2), ar

= j − kr.

uuur

a = {0; 1; –1}.

•

AB = {0 – 1; 3 – 2; 2 – (–1)} = {–1; 1; 3},

ar

=

ax2 + a2y + az2 .

(10)

uur

Задача 3. Найти длину вектора

AB , если A( xA ; yA ; zA ), B( xB ; yB ; zB ).

Или, что то же, найти расстояние между точками А и В.

uuur

•

AB = {xB − xA ; yB − yA ; zB − zA} . Согласно (10) имеем:

uuur

(xB − xA )2 +( yB − yA )2 +(zB − zA )2 .

AB

= AB =

• (11)

• Точка D – серединная точка отрезка ВС, поэтому

x

B

+ x

y

B

+ y

z

B

+ z

−2 +0

2 +

4

1

+ 1

D

C

;

C

;

C

D

;

;

D( −1; 3; 1 ).

2

2

2

2

2

2

AD = (xD − xA )2 + ( yD − y A )2 + ( zD − zA )2 =

= (−1 − 2)2 + ( 3 − 1 )2 + ( 1 − 0 )2 = 9 + 4 + 1 = 14 . •

2. Нахождение угла между векторами

Из формулы (5) можно получить

ar b

r r

cosϕ = cos ( a ,b )

=

r

r

.

(12)

a

b

r

Зная косинус угла, можно получить сам угол. Заметим,

r

> 0 , то

что если a

b

r

r

r

r

( a ,b ) − острый угол, если же

a

b < 0 , то ( a ,b ) − тупой.

ны координатами

А(–1; –2; 4), В(–4; –2; 0),

С(3; –2; 1).

uur

−(

−4 ); − 2 −( −2 ); 4

−0} ={3; 0; 4}

и

•

Рассмотрим векторы BA ={−1

uur

={3 −( −4 );

− 2 −( −2 ); 1 −0}

=

{7 ; 0; 1} .

Тогда

BC

uuur uuur

uur

uuur

3 7 + 0

0 + 4 1

1

BA BC

=

cos B = cos ( BA, BC )

= | BC | | BC | =

32 +02 + 42

7 2 +02 +12

2 .

uuur

uuur

Отсюда следует, что B = 45°. •

Задача 4.

Найти

косинусы

углов,

которые

составляет

вектор

ar ={ax ;ay ;az }

с координатными осями (рисунок 17).

• Согласно формуле (12)

ar i

ax 1 + ay

0 + az

0

r

r

r

ax

cosα = cos ( OX ,a ) = cos ( i ,a )

=

r

r

=

r

1

=

r

.

a

i

a

a

Здесь учтено, что i ={1; 0; 0} и

ir

= 1.

Аналогично для других углов. Таким образом:

cosα =

ax

, cos β =

ay

az

r

r

, cosγ =

r

. (13)

| a |

a

a

средственно подстановкой выражений (13) для cosα,

cosβ, cosγ (рекомендуется

проверить самостоятельно). •

Пример 11. Единичный вектор aro имеет одинаковые острые углы с координат-

ными осями. Найти эти углы и координаты вектора aro .

• По условию

r

o

π

a

= 1 и α = β = γ < 2 . Используя формулу (13), получим

cosα = ax = ay = az

. Поэтому 3 ax2 = 1 ax = +

1

(знак «+» взят из-за

3

того, что угол α – острый).

Итак, α = β =γ = arccos

1

≈ 36o , вектор aro =

1

{1, 1, 1} .

•

3

3

Критерий перпендикулярности двух векторов a и b можно записать так:

r

r

r

axbx + ayby + azbz = 0 .

a b a

b = 0

Пример 12. Определить,

при

каком значении

параметра

λ векторы

Из механики известно, что работа, совершаемая этой

силой, равна

ur

ur

A =| F |

| S | cosϕ. Но это по определению

uur

ur

есть скалярное произведение векторов F и

S . Таким

образом,

Рисунок 18

A = F S .

(14)

Пример

13.

Найти

работу,

которую производит равнодействующая сил

ur

r

r

ur

r

F1

= i

− j

и F2

= 2i + j

+

k

, если её точка приложения, двигаясь прямолинейно,

перемещается из начала координат О в точку В(2; 1; 3).

ur

uur

uur

+ 2; −1 + 1; 0 + 1} ={3; 0; 1} .

• Равнодействующая сила F = F1

+ F2 ={1

uur

uur

Вектор перемещения OB

={2; 1; 3} . Работа A = F OB = 3 2 + 0 1 + 1 3 = 9. •

Векторным

произведением двух векторов a и b называется вектор cr , та-

кой что:

r

r

1)

r

=

r

r

c

a

b

sin ( a

,b ) ;

Свойство 1.

ar×br = − (br×ar) , т.е. при перестановке сомножителей вектор-

ное произведение изменяет направление.

Свойство 2.

r

r

r

r

r

a

×( λb ) = ( λa )×b

= λ( a

×b ) , т.е. числовой множитель

Свойство 3.

r

r

r

a ×b = 0

a || b . Это свойство можно использовать как кри-

терий коллинеарности двух векторов. В частности, a ×ar = 0 .

. Свойство 4.

i ×rj = kr,

rj × kr = ir,

kr× ir = rj .

Свойство 5.

r

r

r

r

r

r

a

× ( b + c ) = a

× b + a

× c , т.е. векторное произведение обла-

Пример 14.

Вычислить ar×b , если

r

r r

r

r

r

= 1,

r

= 2,

r r

a

= m − n, b = 2m

+ n,

m

n

( m ,n ) = 30o.

Пусть ar ={ax ;ay ;az },

br ={bx ;by ;bz }. Вычислим ar×b , воспользовав-

шись свойствами векторного произведения:

r

r

r

r

r

r

r

r

r r

r r

r r

+

a

×b

=( axi

+ay j

+azk ) ×( bxi

+by j

+bzk ) =axbxi ×i + axbyi ×j

+axbzi ×k

+ aybx rj ×ir+ayby rj ×rj +aybz rj ×kr+azbxkr×ir+azbykr×rj +azbzkr×kr =

=axbykr−axbz rj −aybxkr+aybzir+azbx rj −azbyir =

r

r

r

=( aybz −azby )i −( axbz

−azbx ) j +( axby −aybx )k

=

ay az

a

a

ax

ay

ir rj kr

=

r

r

r

=

.

i −

x z

j +

k

a

x

a

a

by bz

bx bz

bx

by

y z

bx

by bz

r

r

ir

rj

kr

.

(15)

=

a x

a y

a z

a

× b

bx

b y

bz

r

r

i

rj kr

r

2 0

r

1 0

r

1 2

•

a × b

=

1 2 0

= i

−1 1

−

j

1 1

+ k

1 −1

=

=

1 −1 1

2i − rj − 3kr ={2; −1; − 3} . •

2.2.3

Приложения векторного произведения

1. Вычисление площади параллелограмма и тре-

угольника

Известно,

что

площадь

параллелограмма

S=a b sinϕ. Если сравнить эту формулу с первым

пунктом определения векторного произведения

Рисунок 19

r

r

=

r

r

r

r

a

× b

a

b

sin ( a ,b ) , то можно сделать вывод, что

ного на векторах a и b как на сторонах (рисунок 19):

Sпар. =

r

r

(16)

a

× b

.

1

r

r

Sтр. =

a

× b

.

2

Пример 16. Найти площадь ∆ABC , если А(1; –1; 2), В(0; 1; 1), С(–1; 3; 1).

uur

uuur

• Можно считать, что ∆ABC построен на векторах AB и AC . Найдём коор-

динаты этих векторов:

uuur

uur

AB =

{0–1; 1–(–1); 1–2}={–1; 2;

–1},rACr

= {–1–1; 3–(–1); 1–2}={–2; 4; –1}.

1

uuur

uuuur

1

i

j k

1

r

r

r

Тогда:

S∆ABC

=

AB

× AC

=

|

−1

2 − 1

| =

i 2

− j

( −1 ) + k 0

=

2

2

2

−2

4 − 1

=

1

{2, 1, 0}

=

22 + 12

=

5

.

•

2

2

2

Пример 17. Найти единичный вектор

r

no , перпендикулярный плоскости тре-

угольника АВС, если А(1; 0; 1),

В(1; 1; 0), С(0; 1; 1).

• Рассмотрим векторы

uuur

uuur

AB =r{1–1; 1–0; 0–1}={0; 1; –1} и AC = {0–1; 1–0; 1–1}={–1; 1; 0}.

Вектор n ,

перпендикулярный плоскости

∆ABC ,

можно определить как вектор,

одновременно перпендикулярный векторам

uur

uuur

AB и AC , т.е.

i

rj

kr

r

uuur

uuuur

r

r

r

n = AB

× AC =

0 1 − 1

= i 1 −

j ( −1 ) + k 1 = {1; 1; 1} .

−1 1

0

r

ro

ro

1 r

Ясно, что

n

=

3 . В качестве

n

можно взять любой из векторов n

= ±

n .

3

ro

1

{1; 1; 1}.

Таким образом, n

= ±

•

3

3.

Нахождение момента сил

uur

ur

Из механики известно,

что величина | M | момента

M

ur

приложенной в точке А, относительно точки В

силы F ,

ur

uuur

В

ϕ

равна | F | | BA | sinϕ , где ϕuur– угол между линией дей-

ствия силы и направлением

BA . Направлен момент пер-

A

F

uuur

пендикулярно этим линиям так, что тройка векторов BA ,

Рисунок 20

ur

ur

F ,

M – правая. А это означает, что

uur

r

(17)

M = BA× F .

В этом заключается механический смысл векторного произведения.

ur

= i

r

Пример 18. Найти величину момента силы F

+ 2 j , приложенной к точке

А(1; –2; 1), относительно начала координат О.

• Момент силы

ir

rj

kr

uur

uuur uur

r

r

r

M

= OA × F

=

1 − 2 1

= i

( −2 ) − j ( −1 ) + k 4 ={−2, 1, 4}.

1

2

0

Величина момента силы

ur

4 + 1 + 16 =

21 . •

| M |=

если ( ar

× b ) cr > 0 , то ar,b ,cr

– правая тройка;

если ( ar

× b ) cr < 0 , то ar,b ,cr

– левая тройка.

r

r

r r

r

r

r

r

– одной ориентации, а тройки

Действительно, тройки a ,b ,c ;

b ,c ,a ;

c ,a ,b

r

r

r r

r

r r

r

b ,a ,c ;

a ,c ,b ;

c ,b ,a – другой ориентации.

Свойство 5. Критерий компланарности трёх векторов:

r

r

r r r

( a , b , c ) = 0 a ,b , c – компланарные векторы.

Доказательство легко усматривается из второго свойства смешанного произве-

дения.

2.3.3

Вычисление смешанного произведения в координатной форме

Пусть даны векторы ar ={ax ; ay ; az }, br ={bx ; by ; bz }, cr ={cx ; cy ; cz } .

Вычислим смешанное произведение в координатах:

r

r

r

r

r

r

a

y

a

z

ax az

a

x

a

y

{cx ; cy ; cz } =

( a ,b ,c ) = ( a

× b ) c

=

b b

, −

b b

,

b b

y

z

x

z

x

y

= cx

ay az

− cy

ax az

+ cz

ax ay

.

b

b

b

x

b

b

x

b

y

y

z

z

r

r

r

ax ay az

bx

by

bz

.

(18)

( a ,b ,c ) =

cx

cy

cz

Vпар. =

r r r

.

( a , b , c )

1

1

r r r

Очевидно, объём треугольной призмы Vпр. =

Vпар. =

| ( a ,b ,c ) | ,

2

2

1

1

1

r r r

а объём треугольной пирамиды Vпир. =

Vпр. =

Vпар. =

| ( a ,b ,c )| .

3

6

6

B(0; 1; 1),

C(1; 0; 1),

D(1; 1; 1). Найти объём пирамиды и высоту, опущенную

из вершины D (рисунок 22).

uur

uuuur

uuuur

• Пирамида построена, например, на векторах AB, AC , AD .

Укажем координаты этих векторов:

uuur

uur

uuuur

={0; −1; 1} .

AB ={−1;

−1; 1} , AC

={0; − 2; 1} , AD

Вычислим

−1 − 1

1

uuur uuuur uuur

−2 1

0

− 2 1

= −1

= 1 .

( AB , AC , AD ) =

0 − 1 1

−1 1

Рисунок 22

Объём пирамиды V

=

1

1 =

1

.

6

пир.

6

3Vпир.

Высоту h можно найти из соотношения: V

=

1

S

h h

=

.

3

S∆ABC

пир.

∆ABC

1

uuur

uuuur

1

i

rj

kr

1

r

r

r

6

Найдём S

=

AB× AC

=

|

−1

−1

1

| =

i 1 − j

( −1 )+k

2

=

.

∆ABC

2

2

0

−2

1

2

2