2) Что происходит на другом конце интервала? При – сходится.

А вот и вознаграждение за мучения в предыдущем пункте! Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали.

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: 

Чуть менее сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 9

Найти область сходимости ряда 

Достаточно для начала =)

В заключение остановлюсь на одном моменте. Во всех примерах мы использовали признак Даламбера и составляли предел . Всегда ли при решении заданий такого типа нужно применять признак Даламбера? Почти всегда. Однако в редких случаях невероятно выгодно использовать радикальный признак Коши и составлять предел , при этом техника и алгоритм решения задачи остаются точно такими же! Что это за случаи? Это те случаи, когда из общего члена степенного ряда «хорошо» (полностью) извлекается корень «энной» степени.

Следующий урок по теме – Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений.

 Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при  Слева нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 7  – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. 1) При    Используем признак Лейбница.  – Ряд является знакочередующимся.  – члены ряда не убывают по модулю. Вывод: Ряд расходится 2) При  Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ответ:  – область сходимости исследуемого степенного ряда

Пример 5: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ответ: Ряд сходится при 

Почему получилась двойка, а не ноль? Перечитайте классификацию области сходимости степенного ряда. Хотя, наверное, многие уже понимают, почему.

Пример 7: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при  Слева нужно оставить только модуль, умножаем обе части неравенства на : В середине нужно оставить только «икс», вычитаем из каждой части неравенства 3:  – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала: 1) При    Степень  сократилась, значит, мы на верном пути. Используем признак Лейбница.  Ряд является знакочередующимся.  – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем интегральный признак.   Подынтегральная функция непрерывна на . Таким образом, ряд  расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом. Ряд   сходится только условно. 2) При  – расходится (по доказанному). Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: , при  ряд сходится только условно. Область сходимости окончательно можно записать так:, или даже так: . Примечание: Ряд  можно было исследовать на сходимость с помощью предельного признака сравнения.

Пример 9: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при   – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. 1) При    Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения. Получено конечное число, отличное от нуля, значит, полученный числовой ряд расходится вместе с гармоническим рядом. 2) При  – расходится (по доказанному). Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: