Однородная система.

Теорема 1.Однородная система всегда совместна.

Теорема 2.Для того, чтобы однородная система имела не нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю

Следствие:Для того, чтобы однородная система имела не нулевое решение необходимо и достаточно , чтобы.

Пример 21:Исследовать однородную систему:

Решение:~~~

Система имеет множество решений, базисные неизвестныеи- свободная переменная равнас.или

Метод Гаусса.

Пусть дана система №9. Идея метода состоит в следующем: пусть коэффициент при в первом уравнении системы №1.

1. Исключим неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого прежде всего разделим обе части уравнения сист-мы№1 на коэффициент. Получим новую систему, равносильную данной.

2. Умножим первое уравнение на и вычтем его из второго уравнения системы; затем умножим первое уравнение наи вычтем его из третьего уравнения и т. д. В результате этого шага приходим к системе вида №2:

, где---(10)

3. Исключим из всех уравнений системы №2, кроме первого и второго. Для этого разделим обе части второго уравнения системы №2 на; затем умножим второе уравнение последовательно наи вычтем поочередно из соответствующих уравнений, кроме 1-го и 2-го.

4. Продолжая этот процесс далее, мы придем либо к системе вида:

--- (11) в случае ее совместности, либо к системе вида:

---(12)

5) система вида (11) называется ступенчатой, система вида (12) – треугольной. В случае системы (12) из последнего уравнения определяется , подставляется в предыдущее уравнение системы (12), определяемнеизвестное и т. д. из 1-го уравнения найдемнеизвестное.

В случае системы (11) имеем систему совместную, но не определенную, которая имеет множество решений. Выделяем базисный минор и базисные неизвестные, остальные неизвестные назовем свободные и приведем систему (11) к виду (12).

Все выше указанные описания на практике производят над матрицами, составленными из коэффициентов перед неизвестными и столбца свободных коэффициентов.

Пример 22:1) Исследовать систему, и в случае ее совместности найти решение

Решение: ~~

~

- свободные переменные

последней матрице соответствует система

равносильная исходной

Вариант 1

А1. Вычислить определитель:

а) б).

А2. Решить уравнение:

.

А3. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника:

.

А4. Найти алгеброические дополнения элементов иопределителя (см. задачу А3).

А5. Вычислить определитель, используя подходящее разложение по строке или столбцу:.

А6. Решить систему уравнений с помощью правила Крамера.

а)

б)

А7. Найти матрицу , полученную путем преобразований матрици:

.

;

А8. Вычислить: _.

А9. При каких значениях матрица не имеет обратную?

_{А10. Решить матричное уравнение:}

А11. При каких значениях матрица имеет ранг, равный 1?

В1. Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все, кроме одного, элемента какой-либо строки (столбца):

.

В2. Вычислить определитель приведением их методом Гаусса к треугольному виду.

а)

б)

В3. Умножить матрицы:

В4. При каких значениях матрицы перестановочны?

В5. Найти обратную матрицу:

В6. Найти ранг матрицы методом Гаусса:

В7. Решить методом Гаусса систему уравнений:

.

С1. Умножить матрицы:

.

С2. Решить матричным методом систему уравнений из задачи А6 (б).

Найдём определитель матрицы системы

detA==-3≠0, значит, к системе применим матричный метод. Находим обратную матрицу:

=-

Запишем решение системы в матричной форме

=-×=-=

Следовательно, =2,=-5,=3.

С3. Решить методом Гаусса системы уравнений:

а) Преобразуем расширенную матрицу системы: (чтобы получить на диагонали элемент, отличный от нуля, приходится изменить порядок неизвестных) Полученной матрице соответствует система Система неопределенна (r= 3 <n= 5). Неизвестные,,– базисные,,- свободные. Последовательно находим: = -13- 2;= -2-9+2= = -2(-13-2) -9+2=17+6; =+ 2+4-+1= =17+6+2(-13-2)+4-+1= = -5-+3 Полагая =u,=ѵ, получаем общее решение системы в виде = -u+5ѵ+3,=u,=17ѵ+6,=13ѵ-2,=ѵ б) Преобразуем расширенную матрицу системы: Здесь последовательно выполнили следующие преобразования: Переставили первую и четвертую строки; первую строку, умноженную на 3,2,7, вычли поочередно из второй, третьей, четвертой строк, Вторую строку разделили на 2; вторую строку, умноженную на 1, затем 5, вычли поочередно из третьей, затем четвертой строк. Последней матрице соответствует система (Уравнение 0=0, соответствующее третьей строке матрицы, отброшено). Мы пришли к системе, содержащей противоречивое уравнение 0=9. Ранги основной матрицы системы и расширенной матрицы не равны. Система несовместима.

в). Однородная система всегда имеет решение. Если определитель основной матрицы системы равен нулю, то система имеет множество решений. Если же определитель не равен нулю, то система имеет единственное нулевое решение. С помощью элементарных преобразований получим:

Будем считать базисными переменными , а свободными. Имеем систему

Отсюда получим решение: