1.6. Динамика вращательного движения твердого тела

Любое движение твердого тела сводится к поступательному (рис.1.38) и вращательному (рис.1.39). Это означает, что произвольное движение можно представить в виде суперпозиции поступательного движения тела, характеризуемого движением любой его точки (центра масс), и вращения тела вокруг этой точки, т.е. вокруг осей проходящих через неё.

Рис. 1.38	Рис. 1.39

1. Момент силы относительно неподвижной точки (рис.1.40):

или .

где r – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку прило­жения силы ; l – плечо силы F.

Рис. 1.40

2. Момент импульса относительно неподвижной точки (рис.1.41):

,

где импульс тела.

Рис. 1.41

3. Основной закон динамики вращательного движения относительно точки (уравнение моментов):

.

4. Момент инерции точки, находящейся на расстоянии от оси вращения:

.

Момент инерции тела, состоящего из N точек:

5. Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения (рис. 1.42, 1.43):

,

где – угловая скорость вращения тела.

Рис. 1.42	Рис. 1. 43

6. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

.

7. Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени:

или .

8. Гироскоп – быстро вращающееся тело, имеющее три степени свободы (рис. 1.44).

Рис. 1.44

Гироскоп (или волчок) – массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии (рис. 1.44). Эту ось будем называть осью гироскопа. Она может изменять свое положение в пространстве (свободная ось). (Без вращения волчок падает, а когда вращается, то нет; здесь выполняется закон сохранения момента импульса: ). Используется гироскоп в различных навигационных устройствах кораблей, самолетов, ракет (гирокомпас, гирогоризонт).

9. Момент инерции системы (тела):

,

где R – расстояние материальной точки массой до оси вращения.

Для сплошного однородного тела:

,

где ρ – плотность тела; V – объем тела.

10. Моменты инерции тел правильной геометрической формы (рис. 1.45):

Шар ; Сфера	Диск ; Обруч	Стержень ;
	Рис. 1.45

11. Теорема Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции I_с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 1.46):

Рис. 1.46	Рис. 1.47

.

12. Кинетическая энергия тела, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси z:

13. Полная кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

.

14. Закон сохранения энергии для тела катящегося с высоты h (рис. 1.47):

14. Сходство и различие линейных и угловых характеристик движения и связь между ними.

Поступательное движение		Вращательное движение
Кинематика
Путь		Угол поворота
Скорость		Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
; ; ; ; ;
Динамика
Основное уравнение динамики поступательного движения		Основное уравнение динамики вращательного движения
Импульс		Момент импульса
Закон сохранения импульса		Закон сохранения момента импульса
Работа		Работа вращения
Мощность		Мощность
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия вращ. тела