§ 2. Теоремы об изменении момента количества движения.

В статике введено понятие момента силы, действие которого приводит к повороту тела относительно точки или оси.

В динамике существует аналог момента силы - момент количества движения, действие которого в ряде случаев тоже может привести к вращению тела, но уже под действием количества движения.

Моментом количества движения материальной

точки относительно точки(полюса О) называют

вектор , равный векторному произведению

радиуса - вектора точки на вектор количества

движения.

О

Рис.64.

чевидно, модуль момента количества движения

определится выражением:

L₀=r k sin=k h, где h=r sin- плечо количества

движения (см. рис. 64).

Моментом количества движения материальной

точки относительно оси называют проекцию

вектора момента количества движения

относительно полюса О на ось, проходящую через

этот полюс. (рис.65):

L_Z=L₀ cos

И

Рис.65.

спользуя полюс О как начало прямоугольной H системы координат XYZ, можно записать:

Проекции полярного момента количества движения на оси координат вычисляются по правилам векторного произведения:

Моментом количества движения механической системы (кинетическим моментом) относительно полюса О называют вектор _0, равный геометрической сумме моментов количества движения всех материальных точек системы относительно этого полюса: _0=

Моментом количества движения механической системы (кинетическим моментом) относительно оси называют алгебраическую сумму моментов количества движения всех точек системы относительно этой оси.

L_X= L_{X i}= m_i (Y_iV_{Z i} - Z _iV_{Y i})

L_Y=L_{Y i}=m_i(Z _iV_Xi - X _iV_{Z i})

L_Z=L _{Z i}=m _i(X _iV_{Y i} - Y _iV _{X i})

Особый практический интерес представляют полученные формулы для вычисления кинетического момента твёрдого тела, вращающегося , например, относительно оси Z с угловой скоростью  _z .

L_Z=m _i (X _iV_{Y i} - Y _iV_{X i})

Из рис.66 V _{X i}= -  _zY_i , V_{Y i}= _z X _i

Таким образом:

L _Z=m _i( _z + _z )= _z  m _i()

L _Z= _zI_z

Теперь рассмотрим теоремы об изменении момента количества движения:

а) Теорема об изменении момента количества движения материальной точки.

Теорема: Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно полюса О равна моменту силы, действующей на материальную точку относительно полюса О.

Доказательство:

, но L _X=m(YV_Z-ZV_Y), следовательно

Аналогично .

Окончательно:

.

Замечаем, что момент силы, заставляющий двигаться точку относительно полюса О, способствует изменению её момента количества движения. И наоборот, если момент силы в течение некоторого промежутка времени равен нулю, то момент количества движения сохраняется неизменным.

Действительно, если ,тои.

Это обстоятельство получило название “ Закон сохранения момента количества движения материальной точки”.

б) Теорема об изменении момента количества движения механической системы.

Теорема: Производная по времени от момента количества движения механической системы(кинетического момента) относительно полюса О геометрически равна главному моменту внешних сил относительно этого полюса.

Доказательство:

Пусть механическая система состоит из n материальных точек.

По определению _0=

Следовательно, _0/ dt=₀₁/ dt+₀₂/dt+...+_0n/dt=_0n= =.

Можно представить:

, где

сумма моментов внешних сил;

сумма моментов внутренних сил ()

Окончательно: _0/ dt=

Из полученного выражения следует, что изменение момента количества движения не может быть достигнуто за счёт моментов внутренних сил.

Если главный момент внешних сил в течение некоторого промежутка времени будет равен нулю, то момент количества движения механической системы в это время сохранится неизменным.

Это утверждение носит название “Закон сохранения момента количества движения механической системы”.

Важно подчеркнуть, что постоянство вектора момента количества движения означает означает сохранение как направления, так и его модуля. Например, если некоторому телу с моментом инерции I_z придать угловую скорость _z, то ему будет сообщён момент количества движения , вектор которого совпадёт с осью вращения (рис.67).

Если теперь телу предоставить свободное

вращение, то будет сохраняться как величина, так

и направление оси вращения.

Способность оси вращения свободно

вращающихся тел стабилизироваться в

пространстве широко используется в

технике.

Так с целью стабилизации

продольной оси снаряда, ему придаётся

вращение относительно этой оси. Это

же свойство используется в гироскопах,

применяемых в авиации в навигационных приборах.