§ 3. Вынужденные колебания материальной точки.

Вынужденные колебания возникают в тех случаях, когда наряду с восстанавливающей силой, силой вязкости, действует периодически изменяющаяся вынуждающая сила:

F_вын=H  sinpt, где H-амплитуда, а p-частота вынуждающей силы.

Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки в этом случае:

m=-F_в-F_пр+F_вын=

Приведём это уравнение к каноническому виду:

или

Дифференциальное уравнение (7) является неоднородным и его решение представляется суммой общего решения однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения, определяемого формой правой части. X = X ₁ + X ₂

Общее решение X₁ однородного уравнения, как показано в предыдущем § е, описывает свободные затухающие колебания, которые достаточно быстро исчезают. Поэтому исследование вынужденных колебаний обычно сводят к исследованию частного решения X₂.

Как известно, частное решение дифференциального уравнения вида (7) ищут в виде:

Подставив это решение в уравнение (7) и уравнивая коэффициенты при sin(pt) и cos(pt), найдём:

Для получения более наглядного вида решения представим:

B₁=A_вын  cos t и B₂=A_вын  sin t

После подстановки в уравнение (8) будем иметь

X₂=A_вын  sin(pt+) (9), где

А_вын=

Замечаем, что частное решение исходного дифференциального уравнения описывает гармонический незатухающий процесс с амплитудой А_вын и частотой p вынуждающей силы. Проанализируем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от собственной частоты k , частоты вынуждающей силы p и коэффициента n, зависящего от вязкости среды.

Так при отсутствии вязкости (n=0) амплитуда вынужденных колебаний А_вын определится выражением:

А_вын.

Очевидно при сближении собственной частоты колебаний k с частотой вынуждающей силы p амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности. Физически это объясняется тем, что при совпадении частот происходит накапливание колебательной энергии и с течением времени происходит возрастание амплитуды колебаний. Можно показать, что возрастание амплитуды колебаний происходит по закону: А_вын=. Это явление получило название резонанса.

Наличие вязкости ослабляет проявление резонанса, который возникает при p=k.

Графически зависимость амплитуды вынужденных колебаний от соотношения р; k и n можно представить:

n₁=0

n₂

n₃n₂

A_вын

p/k

p/k=1

Рис.54.

Резонансная величина амплитуды вынужденных колебаний определяется выражением: A_max=.

Тема 12. Динамика относительного движения материальной точки.

Вкинематике изучалась задача движения точки относительно подвижной системы координат. Особенности этой задачи проявляются в динамике.

Пусть материальная точка движется

в подвижной(переносной)системе

координат XYZ под действием силы

с относительным ускорением _отн.

Пусть точка вместе с подвижной

системой координат движется

относительно неподвижной

(абсолютной) системы координат с

переносным ускорением _пер. Из

движении точки возникает ускорение

Кориолиса _кор. Таким образом

абсолютное ускорение точки

определяется теоремой Кориолиса:

_отн+_пер+_кор

Запишем основное уравнение динамики точки в абсолютной (инерциальной) системе координат:

m(_отн+_пер+_кор)=

и разрешим его относительно подвижной (неинерциальной) системы координат:

m_отн=_перкор

Обозначим:

- переносная сила инерции;

- кориолисова сила инерции.

(Силы иназывают силами инерции Эйлера)

С учётом введённых обозначений будем иметь:

(1)

Получили правило: Для того, чтобы записать основное уравнение динамики точки в подвижной системе координат, необходимо к действующей силе(силам) присоединить переносную и кориолисову силы инерции.

Векторное уравнение (1) в проекциях на оси координат расписывается:

а) в декартовых координатах:

б) в естественных осях:

Рассмотрим некоторые частные случаи сложного движения материальной точки:

1. Переносное движение - поступательное, равномерное и прямолинейное.

Поступательное движение означает , следовательно

Равномерность и прямолинейность движения означает _пер=0, следовательно

.

Таким образом, уравнение (1) получает вид:

Замечаем, что в этом случае основное уравнение динамики точки в подвижной системе координат инвариантно уравнению в абсолютной системе координат.

Следовательно, любая система координат, движущаяся поступательно, равномерно и прямолинейно, является инерциальной.

Можно также сделать и следующее утверждение, получившее название: ”Принцип относительности механики”.

“Никакие механические опыты или явления не могут отличить абсолютный покой от равномерного, прямолинейного и поступательного движения”.

2. Случай относительного покоя.

В этом случае материальная точка движется только вследствие движения переносной системы координат.

Относительный покой означает: V_отн=0; а_отн=0, следовательно

Таким образом, уравнение (1) в этом случае получит вид:

0=.