FNP

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

по теме “Функции нескольких переменных”

Вариант №1

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ; б) ;

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ; б) ;

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

;

5. Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)

1. ; 2.

6. Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль

;

7. Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора

8. Найти полный дифференциал функции:

а) ; б)

9. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:

при

10. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;

11. Исследовать на экстремум функцию ,

12. Положительное число a разложить в сумму трех положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

13. По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсолютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) погрешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры.

; .

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

по теме “Функции нескольких переменных”

Вариант №2

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ; б) ;

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ; б) ;

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

;

5. Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)

1. ; 2.

6. Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль

;

7. Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора

8. Найти полный дифференциал функции:

а) ; б)

9. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:

при

10. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;

11. Исследовать на экстремум функцию ,

12. Среди всех цилиндров, вписанных в шар радиуса R, найти тот, у которого площадь полной поверхности наибольшая. Указать высоту H и радиус основания r такого цилиндра.

13. По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсолютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) погрешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры. ; .

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

по теме “Функции нескольких переменных”

Вариант №3

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ; б) ;

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ; б) ;

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

;

5. Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)

1. ; 2.

6. Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль

;

7. Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора ;

8. Найти полный дифференциал функции:

а) ; б)

9. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:

при

10. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;

11. Исследовать на экстремум функцию ,

12. Из всех плоскостей вида , проходящих через заданную точку , выделить такую, которая вместе с координатными плоскостями образует треугольную пирамиду с наименьшим объемом ( - отличны от нуля).

13. По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсолютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) погрешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры.

; .

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

по теме “Функции нескольких переменных”

Вариант №4

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ; б) ;

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ; б) ;

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

;

5. Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)

1. ; 2.

6. Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль

;

7. Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора ;

8. Найти полный дифференциал функции: а) ; б)

9. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:

при

10. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;

11. Исследовать на экстремум функцию , .

12. На плоскости даны n материальных точек с массами соответственно. При каком положении точки момент инерции данной системы относительно точки M будет наименьшим?

13. По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсо-лютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) по-грешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры. ;

.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

по теме “Функции нескольких переменных”

Вариант №5

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ; б) ;

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ; б) ;

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

;

5. Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)

1. ; 2.

6. Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль

;

7. Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора

8. Найти полный дифференциал функции:

а) ; б)

9. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:

при

10. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;

11. Исследовать на экстремум функцию ,

12. Определить наружные размеры открытого ящика формы прямоугольного параллелепипеда с заданной толщиной стенок и с заданным объемом V так, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество материала.

13. По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсолютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) погрешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры. ; .

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

по теме “Функции нескольких переменных”

Вариант №6

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ; б) ;

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ; б) ;

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

;

5. Найти производные неявно заданной функции: а) ; б)

1. ; 2.

6. Найти градиент функции в точке и вычислить его модуль

;

7. Для функции в точке вычислить градиент и производную в направлении вектора

8. Найти полный дифференциал функции:

а) ; б)

9. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции:

при

10. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в указанной точке : ;

11. Исследовать на экстремум функцию ,

12. Среди всех прямоугольных параллелепипедов, вписанных в шар радиуса R, найти такой, который имеет наибольший объем, и определить размеры последнего.

13. По заданным приближенным значениям аргументов функции и их предельным абсолютным погрешностям вычислить абсолютную и относительную (в процентах) погрешности значения функции; найти приближенное значение , сохраняя только верные цифры.

; ;

.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

по теме “Функции нескольких переменных”

Вариант №7

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

а) ; б) ;

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

а) ; б) ;

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению: