Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник по вышке.doc

Скачиваний:

143

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

9. Максимум и минимум функции

Точка называется точкоймаксимума или минимума функции , если в некоторой окрестности точкивыполняется неравенствоилисоответственно. Значения функции в точкеназываются соответственномаксимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называется экстремумом функции. Значения аргумента, при которых функция имеет экстремум, называются критическими точками первого рода.

Чтобы найти экстремальные значения функции, надо найти ее производную и, приравняв ее к нулю, решить уравнение. Корни этого уравнения, а также точки, в которых производная не существует, являются критическими точками первого рода.

Если знак производной при переходе через точку меняется с плюса на минус, тоесть точка максимума. Если знак производной при переходе через точкуменяется с минуса на плюс, тоесть точка минимума. Если знак не меняется, то в точкеэкстремума нет.

Иногда проще исследовать критическую точку по знаку второй производной. Если в критической точке, где первая производная равна нулю, , тоесть точка минимума. Если, тоесть точка максимума. Если, то такую точку исследуют по первой производной.

Если функция задана неявно , то для того, чтобы, должно выполняться равенство. Здесь,производные от функциипои, найденные в предположении, чтоине зависят оти, соответственно. Решая совместнои, находим критические точки. Экстремум функции в критических точках находят по знаку второй производной. Если в критической точке, то это точка максимума. Если, то это точка минимума.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: Находим производную и приравняем ее к нулю. Корни этого уравнения,являются критическими точками.

При переходе через точку производная знака не меняет, т.к. данный множитель в квадрате, а при переходе через точкуменяет знак с минуса на плюс. Значит, в точкефункция имеет минимум. Находим экстремальные значения функции, а именно минимум функции.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: Находим первую производную и приравняем ее к нулю. Корни этого уравнения,,являются критическими точками. Находим вторую производнуюи выясним знак второй производной в критических точках:- функция имеет максимум;- функция имеет минимум;функция имеет минимум. Определяем экстремальные значения функции:- максимум функции;- минимум функции;- минимум функции.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: Находим первую производную и приравниваем ее к нулю. Корни этого уравнения,Являются критическими точками. Находим вторую производнуюи выясним знак в критических точках.

В точке вторая производная- функция имеет максимум. В точкевторая производная, следовательно, судить об экстремуме нельзя. Проверим наличие экстремума по первой производной. Поскольку при переходе через точкупервая производная знака не меняет, то в точкеэкстремума нет.

Определяем в точке максимальное значение функции.

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: Функция определена на всей числовой оси. Находим производную . Приравниваем производную к нулюи находим критическую точку. При переходе через точкупроизводнаяменяет знак с минуса на плюс, следовательно, в точкефункция имеет минимум.

Приравнивая к нулю знаменатель производной, получаем . Отсюда находим критическую точку функции, в которой производная не существует. Очевидно, что в точкепроизводная, а в точкепроизводная. Следовательно,есть точка максимума функции.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: Функция задана неявно. Находим и. Производнаятогда, когда, т.е..

Решая систему уравнений находим критическую. Вычисляем вторую производную. В критической точкеи, если, и, если. Таким образом, функцияприимеет минимум, а приимеет максимум.