Самостоятельная работа

Найти пределы:

1. . Ответ:.

2. . Ответ:.

3. . Ответ:.

4. . Ответ:.

5. . Ответ:.

6. . Ответ: 1.

7. . Ответ:.

8. . Ответ:.

9. . Ответ:.

10. . Ответ:.

11. . Ответ: 1.

12. . Ответ: 3.

13. . Ответ:.

14. .

15. .

16. .

17..

18. .

19. .

20. .

3. Примерный вариант контрольной работы

1. Найти :

a) , b) , c) ,

d) e) .

2. Найти :a) ,b)

3. Составить уравнения касательных и нормалей в указанных точках к следующим кривым:

a) ,,b) .

4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции при заданном значении:,.

5. Вычислить с помощью правила Лопиталя.

8. Возрастание и убывание функций

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Если внутри некоторого промежутка , то функция возрастает. Если, то в этом промежутке функция убывает.

При практическом исследовании функции на возрастание и убывание находят точки, в которых производная равна нулю или не существует. Все эти точки вместе с возможными точками разрыва функции разбивают область существования функции на ряд промежутков, на каждом из которых вопрос о возрастании или убывании функции определяется знаком производной.

Определить промежутки монотонности функций:

Пример 1. .

Решение: Функция определена для всех значений . Производнаяпри любом. Следовательно, функция возрастает на всей числовой оси.

Пример 2. .

Решение: Функция существует для всех . Производная. Если, тоидля всех. Следовательно, функция убывает.

Пример 3. .

Решение: Функция определена для всех . В точкеона терпит разрыв. Находим производнуюи приравниваем ее к нулю:. Это уравнение имеет два корня:. Учитывая точку разрыва, разбиваем числовую ось на промежутки и определяем знак производной на каждом из них.

+ - - +

.

Следовательно, функция возрастает на промежутках и убывает -.

Пример 4. .

Решение: Функция определена на всей числовой оси. Находим нули производной: и определяем промежутки и знаки функции в каждом из них:.

- - +

.

При переходе через корень производная не меняет знака. Еслии,, и функция убывает. Если, производная, и функция возрастает.

Пример 5. .

Решение: Функция определена на всей числовой оси. Находим ее производную: Отсюда следует, что если, функция убывает, если, функция возрастает.

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1. .

Ответ: - интервалы возрастания,

- интервалы убывания.

2. . Ответ:- интервалы возрастания,

- интервалы убывания.

3. .

Ответ: интервалы возрастания,

- интервалы убывания.

4. . Ответ:- интервал возрастания,

- интервал убывания.

5. . Ответ:- интервалы возрастания,

- интервалы убывания.

6. . Ответ:- интервал убывания.

7. . Ответ:- интервалы убывания.

8. . Ответ:- интервалы возрастания,

- интервалы убывания.

9. . Ответ:- интервалы возрастания,

- интервалы убывания.

10. . Ответ:- интервал возрастания,

- интервалы убывания.

11. Функция задана неявно:.

Ответ: - интервал возрастания,- интервал убывания.

12. Функция задана неявно:.

Ответ: - интервал возрастания,- интервал убывания.

13. Функция задана параметрически:.

Ответ: - интервал возрастания,

- интервал убывания.

Выяснить, при каких значениях параметра функциявозрастает на всей числовой оси:

14. . Ответ:.

15. . Ответ:.

16. . Ответ:.

17. . Ответ:.

18. . Ответ:.

19. . Ответ:.