Правило Лопиталя

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник по вышке.doc

Скачиваний:

146

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Правило Лопиталя

Пусть в некоторой окрестности точки функцииидифференцируемы и. Еслиили, т.е. частноев точкепредставляет собой неопределенность видаили, то

, если предел в правой части этого равенства существует.

Другими словами: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, если .

Если частное в точкетакже есть неопределенность видаилии производныеиудовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.

В случае неопределенности вида илиследует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности видаилии далее воспользоваться правилом Лопиталя.

В случае неопределенности вида или, илиследует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Замечание: В правой части формулы Лопиталя берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример 1. Найти .

Решение: Имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя, получим:.

Пример 2. Найти .

Решение: .

Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз.

Пример 3. Найти .

Решение: Имеем неопределенность вида . Переписывая выражение в виде, получим неопределенность вида. Применяя правило Лопиталя, получим.

Замечание: Если имеется неопределенность вида илипри вычислении предела функции, то логарифм этой функции представляет собой неопределенность вида. При этом.

Пример 4. Найти .

Решение:

, т.к. .

Отсюда .

Правило Лопиталя является эффективным методом раскрытия неопределенностей. Однако применение его не всегда приводит к цели.

Пример 5. Найти .

Решение: Если применить правило Лопиталя, то получим

т.е. числитель и знаменатель просто меняются местами. Неопределенность же сохраняется. Если применить правило Лопиталя вторично, то функция под знаком предела примет первоначальный вид. Таким образом, использование правила Лопиталя в данном случае не позволит раскрыть неопределенность. В то же время легко установить, что .

Пример 6. Найти .

Решение: Если применить правило Лопиталя, т.е.

то можно сделать ошибочный вывод о том, что предел данной функции не существует, т.к. не существует . На самом деле, т.к.(произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию).