
- •Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова
- •Оглавление
- •Дифференциальное исчисление
- •Свойства:
- •Самостоятельная работа Продифференцировать данные функции:
- •2. Специальные приемы дифференцирования
- •2.1. Логарифмическое дифференцирование
- •2.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •2.3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал функции
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Правило Лопиталя
- •Найти пределы следующих функций:
- •Самостоятельная работа
- •Примерный вариант контрольной работы
- •8. Возрастание и убывание функций
- •9. Максимум и минимум функции
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции
- •11. Решение задач на максимум и минимум
- •12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба
- •13. Асимптоты кривой
- •14. Исследование функции и построение графиков
- •15. Варианты типового расчета
Геометрический и физический смысл производной
Геометрически
производная
функции
представляет угловой коэффициент
касательной к графику этой функции в
точке
.
Если
на плоскости задана точка
и кривая как график явной функции
то:
-
уравнение касательной в точке с абсциссой
,
,
- уравнение нормали в точке с абсциссой
.
Если
,
то уравнения касательной и нормали
имеют вид соответственно:
,
.
При
параметрическом задании кривой
уравнения касательной и нормали
записываются соответственно:
,
,
,
.
Угол
между кривыми
и
в точке их пересечения
–
это угол между касательными к этим
кривым в точке
.
Этот угол находится по формуле:
.
Если
в точке
производная не определена, но функция
имеет различные односторонние пределы
и
,
то в этой точке графика функции существуют
две различные с соответствующими
угловыми коэффициентами
,
односторонние касательные, составляющие
угол, а точка называетсяугловой.
Если
,
т.е. функция имеет бесконечную производную,
то она не дифференцируема в этой точке.
В этом случае график функции имеет
вертикальную касательную (точка
перегиба).
Если
в точке
функция имеет бесконечные односторонние
производные разных знаков, то график
функции имеет две слившиеся вертикальные
касательные (асимптоты).
Если
при прямолинейном движении точки задан
закон движения
,
то скорость движения в момент
есть производная пути по времени:
,
ускорение в момент
есть
.
При
движении точки по окружности: угловая
скорость вращения
в данный момент равна производной от
угла поворота
по времени:
.
Угловое ускорение точки есть первая
производная от угловой скорости
или вторая производная от угла поворота
по времени
.
Сила
тока в данный момент времени равна
производной от количества протекшего
электричества по времени:
.
Химическое
истолкование производной. Пусть
- концентрация вещества, получаемого в
ходе химической реакции в момент времени
.
Тогда
- скорость реакции в момент
.
Пример
1. В
точках пересечения эллипсов
,
найти угол между ними.
Решение: Эллипсы расположены симметрично относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим только первый квадрат координатной плоскости.
Решив
систему
найдем точку пересечения эллипсов
.
Из уравнения первого эллипса получаем
,
т.е.
.
Следовательно
.
Аналогично, для второго эллипса получим
.
По формуле
,
получим:
.
Итак,
эллипсы пересекаются в четырех точках
под углом
,
т.е. под углом, равным приблизительно
.
Пример
2. Высота
снаряда, вылетевшего с начальной
скоростью
под углом
к горизонту, изменяется по закону
,
где
- время,
- ускорение силы тяжести. В какой момент
скорость изменения высоты снаряда над
горизонтом равна нулю?
Решение:
Вычислим производную функции
.
Следовательно,
скорость изменения высоты снаряда нал
горизонтом равна нулю при
.
Найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:
1.
,
.
2.
,
.
Ответ:
,
.
3.
,
.
4.
.
5.
к эллипсу
,
.
6.
,
.
Ответ:
.
7.
;
.
Ответ:
.
8.
,
.
Ответ:
.
9.
,
.
Ответ:
.
10.
,
.
Ответ:
.
11.
,
.
Ответ:
.
12.
,
.
Ответ:
.
13.
,
.
Ответ:
.
14.
Ответ:
.
15.
.
Ответ:
.
16.
Найти углы, под которыми пересекаются
линии, заданные уравнениями
и
.
Ответ:
,
.
17. Найти угол между кривыми:
a)
и
.
Ответ:
.
b)
и
.
Ответ:
.
Найти
углы, под которыми график функции
пересекает ось абсцисс:
18.
.
Ответ:
.
19.
.
Ответ: В точках
синусоида
пересекает
ось абсцисс под углом
.
20.
.
Ответ: В точках
угол
,
в
точках
угол
.
21.
.
Ответ:
.
22.
.
Ответ:
в точке
угол
,
в точке
угол
.
23.
.
Ответ:
.
24.
.
Ответ:
.
25.
.
Ответ:
в точках
и
угол
,
в
точке
угол
.
26.
.
Ответ:
в точке
угол
,
в
точке
угол
.
27.
Ответ:
.
28.
Ответ: 0.
29.
.
Ответ:
в точке
угол
,
в
точке
угол
.
Найти
точки, в которых касательные к графику
функции
параллельны оси абсцисс:
30.
.
Ответ: (-1;14), (2;-13).
31.
.
Ответ: (0;-1), (1;-6), (-2;-33).
32.
.
Ответ: (-1;-58), (1;54), (7;-2106).
33.
.
Ответ:
.
34.
.
Ответ:
.
35.
.
Ответ:
.
36.
.
Ответ:
.
37.
Ответ:
.
38.
.
Ответ:
.
39.
На кривой
найти точку
,
в которой касательная параллельна
прямой
.
Ответ:
.
40.
Найти точку линии
,
в которой касательная перпендикулярна
прямой
,
составить уравнение этой касательной.
Сделать чертеж.
Ответ:
.
41.
Точка движется вдоль прямой по закону
.
Найти скорость и ускорение точки в
момент времени
.
Ответ:
.
42.
Угол поворота шкива в зависимости от
времени задан формулой
.
Найти угловую скорость и ускорение при
.
Ответ:
угловая скорость равна
,
а
угловое ускорение не зависит от времени
и равно
.
Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые:
43.
,
.
Ответ:
.
44.
,
.
Ответ:
.
45.
,
.
Ответ:
.
46.
,
.
Ответ:
.
47.
,
.
Ответ:
.
48.
,
.
Ответ:
.
49.
,
.
Ответ:
.
50.
,
.
Ответ:
.
51.
и
.
Ответ:
.
52.
и
.
Ответ:
.
53.
Найти уравнение нормали к эллипсу
в точке
.Ответ:
.
54.
Найти уравнение нормали к гиперболе
в точке
.
Ответ:.
Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания для следующих кривых:
55.
Спирали Архимеда
.
Ответ:
.
56.
Гиперболической спирали
.
Ответ:
.
57.
Логарифмической спирали
.
Ответ:
.
58.
Кардиоиды
.
Ответ:
.
59.
Дуги лемнискаты Бернулли
.
Ответ:
.
60.
Точка движется по параболе
так, что ее абсцисса изменяется по закону
(
измеряется в метрах,
- в секундах). Какова скорость изменения
ординаты точки через 9 с после начала
движения?
Ответ:
.
61.
Радиус шара возрастает равномерно со
скоростью 5.
Какова скорость изменения объема шара
в момент, когда его радиус становится
равным 50
?
Ответ: 0,05
.
62.
Колесо вращается так, что угол поворота
пропорционален квадрату времени. Первый
оборот сделан за 8 с. Найти угловую
скорость через 64 с после начала движения.
Ответ:
.
63.
По оси абсцисс движутся две точки,
имеющие законы движения:
и
.
С какой скоростью удаляются они друг
от друга в момент встречи (
измеряется в метрах,
- в секундах)? Ответ:
.
64.
Паром подтягивается к берегу при помощи
каната, который наматывается на ворот
со скоростью 3.
Определить скорость движения парома в
тот момент, когда он находится в 25 м от
берега, если ворот расположен на берегу
выше поверхности воды на 4м.
Ответ:
.
65.
Под каким углом пересекаются кривые
и
в точке (1;1)?
Ответ:
.
66.
Определить среднюю скорость изменения
функции
на отрезке
.
Ответ:
.
67.
Найти расстояние от полюса до произвольной
касательной кривой
.
Ответ:
.
68.
Записать в декартовых и в полярных
координатах уравнение нормали к кардиоиде
в точке с полярным углом
.
Ответ:
,
.
69.
Точка движется по спирали Архимеда
так, что угловая скорость вращения ее
полярного радиуса постоянна и равна
в секунду. Определить скорость удлинения
полярного радиуса
,
если
.
Ответ:
.