13. Асимптоты кривой

Пусть для функции существует такая прямая, что расстояние от точкиграфика функции до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точкио начала координат. Такая прямая называется асимптотой графика функции.

Если или, то прямаяявляетсявертикальной асимптотой графика функции .

Если существует конечный предел , то прямая с уравнениемявляетсягоризонтальной производной графика функции.

Прямая являетсянаклонной асимптотой графика функции, если существуют конечные пределы вида ,. Если хотя бы один из указанных пределов не существует или равен бесконечности, то у функции наклонных асимптот нет.

Если функция задана параметрически то исследуют, нет ли таких значений параметра, при которых функцииили одна из них обращается в бесконечность.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где,, причем.

Если при , то график функции имеет вертикальную асимптоту. Если при, то график функции имеет горизонтальную асимптоту.

Если кривая задана уравнением в полярной системе координат, то преобразовав уравнение кривой к параметрическому виду по формуламее асимптоты находят по предыдущему правилу.

Если функция задана неявно уравнением , то для отыскания асимптот в ряде случаев удобнее представить ее в полярных координатах или перейти к параметрическому виду.

Пример 1. Найти асимптоты графика функции .

Решение: При функция терпит разрыв, причем,. Значит, прямаяявляется вертикальной асимптотой. Находим параметрынаклонной асимптоты,. Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид.

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Так как , то прямыеибудут вертикальными асимптотами. Так как припредел, то прямаяявляется горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет, так каки.

Пример 3. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Функция не определена в точке . Но существует предел. Бесконечных разрывов нет. Точка- устранимая точка разрыва. Вертикальных асимптот нет.

Определим наклонные асимптоты:

, , следовательно,будет горизонтальной асимптотой.

Данная кривая бесчисленное множество раз пересекает свою асимптоту , переходя с одной ее стороны на другую в точках,и неограниченно приближается к ней.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции

Решение: При . Следовательно,является горизонтальной асимптотой. При, следовательно,есть вертикальная асимптота.

Пример 5. Найти асимптоты графика функции

Решение: При функция стремится к бесконечности.

, ,

,

Следовательно, наклонные асимптоты имеют вид ,.

Пример 6. Найти асимптоты графика функции .

Решение: Приведем уравнение, заданное в полярных координатах, к параметрическому виду: где- параметр. При. Следовательно, график функции имеет горизонтальную асимптоту.

Найти асимптоты графика функций:

1. . Ответ: вертикальные асимптоты.

2. . Ответ:.

3. . Ответ:.

4. . Ответ:;.

(часть гиперболы ).

5. . Ответ:.

6. . Ответ: нет.

7. . Ответ:.

8. . Ответ:;при;при

9. . Ответ:.

10. . Ответ:при.

Найти асимптоты функции, обратной к функции :

11. . Ответ:.

12. . Ответ:.

13. . Ответ:.

14. . Ответ:.

15. Найти все асимптоты кривой:

Ответ: , точка самопересечения.

16.Ответ:при;при.

17. Может ли график функции иметь две разные асимптоты при ?