11. Решение задач на максимум и минимум

При решении задач на максимум и минимум по условиям задачи следует:

1. Составить функцию, приняв одну из переменных в качестве независимой. Интервал изменения независимой переменной определяется условиями задачи.

2. Выразить все остальные переменные, входящие в составленную функцию, через выбранную независимую переменную.

3. Получить аналитическое выражение функции через выбранную независимую переменную.

3. Исследовать эту функцию на экстремум в критических точках, принадлежащих области изменения независимой переменной.

4. Найти наибольшее и наименьшее значения полученной функции из значений на границах области изменения независимой переменной и в точках экстремума.

Пример 1: Объем цилиндра . Найти радиус основания, при котором цилиндр имеет наименьшую полную поверхность.

Решение: Полную поверхность цилиндра принимаем за функцию.

,

где - высота цилиндра,- радиус основания. Объем цилиндра. Отсюда. Исключаяиз выражения полной поверхности цилиндра, получим. Вычисляя производную по, получим. Приравнивая к нулю, находим, что минимум наименьшей полной поверхности будет при радиусе. Действительно, вторая производная приравна. То есть найденное значение радиуса определяет наименьшую полную поверхность.

1. Число 64 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Ответ: 8;8.

2. Из углов квадратного листа железа со стороной нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист, получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона квадрата?

Ответ: .

3. Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найти треугольник с наибольшим периметром.

Ответ: Равносторонний треугольник.

4. Определить размеры закрытой коробки объема с квадратным основанием, на изготовление которой расходуется наименьшее количество материала. Ответ: Высота коробки должна быть равна стороне основания, т.е. должна быть кубом с ребром.

5. Найти радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса . Ответ:.

Указания: Пусть - соответственно радиус основания и высота цилиндра, вписанного в шар радиуса,- объем цилиндра. Тогда.

6. Бак цилиндрической формы без крышки должен вмещать литров воды. Каковы должны быть его размеры, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество железа?

Ответ: .

7. Одна сторона прямоугольного участка земли площадью 800 примыкает к реке, остальные огораживаются забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы длина забора была наименьшей?

Ответ: 40 м, 20 м.

8. Какой из конусов, вписанных в шар радиуса , имеет наибольший объем? Ответ:.

9. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в эллипс . Ответ:.