6.1. Производная, её геометрический и физический смысл

Определение производной. – непрерывная функция. – приращением аргумента. Разность – приращение функции. Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

(6.1)

Геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной к графику функции в точке .

Уравнение касательной к графику функции в точке :

(6.2)

Уравнение нормали к графику функции в точке :

(6.3)

Нормаль касательной в точке

Угол между кривыми и в точке пересечения :

.

в точке касательная к графику функции в точке .

в точке касательная параллельна оси Ох. В т. функция достигает максимума:

непрерывна в точке , но в точке нет касательной в точке

при и при (функция возрастает)

при (функция убывает)

Физический смысл производной: – путь, – скорость, – ускорение.

II. Таблица производных

Степенные функции

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

Показательные функции

5. ;

6. ;

Логарифмические функции

7. ;

8. ;

Тригонометрические функции

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

Гиперболические функции

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

Обратные тригонометрические функции

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

Производные высших порядков

Вторая производная – это производная от первой производной: .

n-ая производная – это производная от (n-1)-ой производной: .

Производные параметрически заданной функции

,

Дифференциал

1. Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал равен приращению касательной к графику функции.

– дифференцируемые функции

2. ;

3. , если x – независимая переменная;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

9. Формула приближённых вычислений: (6.4)

Погрешности вычисления

Найти , если . Тогда , – абсолютная погрешность x. Тогда

.

– абсолютная погрешность функции

– относительная погрешность y.

6.3 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя

Теорема Ролля. Функция

1. непрерывна на [a;b];

2. дифференцируема в интервале (a;b);

3. .

Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что .

Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке параллельна оси Ox.

Теорема Лагранжа. Функция

1. непрерывна на [a;b];

2. дифференцируема в интервале (a;b).

Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что

.

Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке параллельна секущей АВ.

Теорема Коши. Функции и

1. непрерывны на [a;b];

2. дифференцируемы в интервале (a;b);

3. при .

Тогда существует по крайней мере одна точка (), такая, что

.

Раскрытие неопределённостей в пределах

Правило Лопиталя. Функции и

1. удовлетворяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки ;

2. и существует . Тогда .

Раскрытие других видов неопределенностей

Формула Тейлора. Функция определена в точке и её окрестности и имеет в ней производные до порядка (n+1) включительно. Тогда

, (6.5)

где – остаточный член в форме Лагранжа.

Формула Маклорена:

. (6.6)