Вариант № 21

1. Даны две функции. Требуется:

1. выяснить, является функция алгебраической или трансцендентной;

2. найти область определения функции;

3. вычислить ;

4. исследовать функцию на чётность, нечётность;

5. исследовать функцию на периодичность, если функция периодична, указать её наименьший период;

6. найти нули функции и интервалы знакопостоянства;

7. исследовать функцию на непрерывность и найти вертикальные асимптоты;

8. исследовать поведение функции на бесконечности и найти её горизонтальные и наклонные асимптоты;

9. для второй из заданных функций построить график.

1. . 2..

2. Решить задачу на составление аналитической функции.

Тело состоит из цилиндра высоты h, имеющего радиус основанияr, и одного полушара радиусаr, поставленного на основание цилиндра. Написать аналитическое выражение функцииV(x)– объёма части тела, заключённой между двумя плоскостями, параллельными основаниям цилиндра, причём одна из них касается полушара, а вторая отстоит от неё на расстоянииx.

3. Вычислить пределы:

1. .	7. .
2. .	8. .
3. .	9. .
4. .	10. .
5. .	11. .
6. .	12. .
Вычислить односторонние пределы и предел этой же функции при . 13. .

4. Используя определение непрерывности функции в точке через предел её приращения, доказать непрерывность функции в заданной точке.

5. Даны две функции. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва, сделать схематический чертёж графика функции.

1. . 2.

6. По эскизу графика описать поведение функции на языке пределов в точках ии при стремлении аргумента функции к.

VII. Построить график функции, если известно, что

,,,

,;.

Дать каждому из пределов определение по Коши (используя неравенства для задания - и-окрестностей).

Вариант № 22

1. Даны две функции. Требуется:

   1. выяснить, является функция алгебраической или трансцендентной;

   2. найти область определения функции;

   3. вычислить ;

   4. исследовать функцию на чётность, нечётность;

   5. исследовать функцию на периодичность, если функция периодична, указать её наименьший период;

   6. найти нули функции и интервалы знакопостоянства;

   7. исследовать функцию на непрерывность и найти вертикальные асимптоты;

   8. исследовать поведение функции на бесконечности и найти её горизонтальные и наклонные асимптоты;

   9. для второй из заданных функций построить график.

1. . 2..

2. Решить задачу на составление аналитической функции.

Окно имеет форму прямоугольника со сторонами aиb, на котором построен полукруг с радиусом. Написать аналитическое выражение функции– площадь части окна, заключённой между двумя прямыми, параллельными основанию прямоугольника, причём одна из них касается полуокружности, а вторая отстоит от неё на расстоянииx.

3. Вычислить пределы:

1. .	7. .
2. .	8. .
3. .	9. .
4. .	10. .
5. .	11. .
6. .	12. .
Вычислить односторонние пределы и предел этой же функции при . 13. .

4. Используя определение непрерывности функции в точке через предел её приращения, доказать непрерывность функции в заданной точке.

5. Даны две функции. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва, сделать схематический чертёж графика функции.

1. . 2.

6. По эскизу графика описать поведение функции на языке пределов в точках ии при стремлении аргумента функции к.

VII. Построить график функции, если известно, что

,,,

,;.

Дать каждому из пределов определение по Коши (используя неравенства для задания - и-окрестностей).