
- •Рязань 2009
- •Глава 1. Предел функции
- •1.1. Определение предела
- •1.2. Операции над пределами
- •1.3. Замечательные пределы
- •1.4. Примеры
- •1.5. Варианты заданий
- •1.6. Контрольные вопросы Глава 2. Производная и дифференциал
- •2.1 Понятие производной
- •2.2. Геометрический и физический смысл производной
- •2.3. Таблица производных
- •2.4. Основные правила дифференцирования
- •2.5. Производные высших порядков
- •2.6. Дифференциал функции
- •2.7. Геометрический смысл и свойства дифференциала
- •2.8. Дифференциалы высших порядков
- •2.9. Примеры
- •2.10. Варианты заданий
- •2.11. Контрольные вопросы
- •Глава 3. Исследование функций и построение графиков
- •3.1. Промежутки монотонности и знакопостоянства
- •3.2. Экстремумы функции
- •3.3. Выпуклость и вогнутость функции. Точка перегиба
- •3.4. Асимптоты
- •3.5.Общая схема исследования функции и построение графиков
- •3.6. Примеры
- •3.7. Варианты заданий
- •3.8. Контрольные вопросы
- •Глава 4. Функции нескольких переменных
- •4.1. Определение функции нескольких переменных
- •4.2. Частные производные
- •4.3. Полный дифференциал
- •4.5. Примеры
- •4.6. Варианты заданий
- •4.7. Контрольные вопросы Глава 5. Численное дифференцирование
- •5.1. Формулы для вычисления первой производной
- •5.2. Формулы второй производной
- •5.3. Примеры
- •5.4. Варианты заданий
- •5.5. Контрольные вопросы Глава 6 Основы интерполяции.
- •6.1. Постановка задачи
- •Интерполяционные формулы конечных разностей
- •6.3. Интерполяционные формулы центральных разностей
- •6.4. Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
- •6.5. Варианты заданий
- •6.6. Контрольные вопросы Глава 7. Неопределенный интеграл
- •7.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •7.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •7.3. Таблица простейших интегралов
- •7.4. Основные методы интегрирования
- •7.4.1. Непосредственное интегрирование
- •7.4.2. Метод подстановки (замена переменной)
- •7.4.3. Интегрирование по частям
- •7.5. Примеры
- •7.6. Варианты заданий
- •7.7. Контрольные вопросы
- •Глава 8. Определенный интеграл
- •8.1. Основные понятия и свойства определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •8.2. Основные методы интегрирования
- •8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.2.2. Метод подстановки
- •8.2.3. Интегрирование по частям
- •8.3. Примеры
- •8.4. Варианты заданий
- •8.5. Биологические, физические и медицинские приложения определенного интеграла
- •8.5.1. Примеры задач прикладного характера.
- •8.5.2. Примеры решения задач.
- •8.5.3. Варианты заданий
- •Глава 9. Численное интегрирование
- •9.1. Формула прямоугольников
- •9.2. Формула трапеций
- •9.3. Метод средних
- •9.4. Формула Симпсона
- •9.5. Примеры
- •9.6. Варианты заданий
- •9.7. Контрольные вопросы
- •Глава 10. Дифференциальные уравнения
- •10.1. Основные определения
- •10.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •10.3. Однородные уравнения первого порядка
- •10.4. Линейные уравнения первого порядка
- •9.5. Примеры
- •I. Метод Лагранжа
- •II. Метод Бернулли
- •1) Метод вариации произвольной постоянной
- •2) Метод подстановки
- •10.6. Варианты заданий
- •10.7. Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
- •10.8. Варианты заданий
- •10.9. Контрольные вопросы
- •Глава 11. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •11.1. Метод Эйлера
- •10.2. Метод Рунге – Кутта
- •10.3. Примеры
- •11.4. Варианты заданий
- •11.4. Контрольные вопросы
- •Глава 12. Элементы теории вероятностей
- •12.1. Случайное событие
- •12.2. Комбинаторика
- •12.3. Вероятность случайного события
- •Закон сложения вероятностей
- •12.5. Варианты заданий
- •12.6. Условная вероятность, закон умножения вероятностей
- •12.7. Варианты заданий
- •12.8. Формулы полной вероятности и Байеса
- •12.9. Варианты заданий
- •11.10. Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
- •12.11. Варианты заданий
- •12.2. Случайные величины
- •12.2.1. Закон распределения случайной величины
- •12.2.2. Функция распределения случайных величин
- •12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •12.2.4. Плотность вероятности непрерывных случайных величин
- •12.2.5. Нормальный закон распределения
- •12.3. Варианты заданий
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований
- •13.1. Основные понятия математической статистики
- •13.1. Варианты заданий
- •13.2. Статистические оценки параметров распределения. Выборочные характеристики
- •13.2.1. Характеристики положения
- •13.2.2. Характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего
- •13.3. Варианты заданий
- •13.4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •13.4.1. Точечная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.5. Варианты заданий
- •13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности
- •13.7. Варианты заданий
- •1.8. Контрольные вопросы
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ
- •14.1. Функциональная и корреляционная зависимости
- •14.2. Коэффициент линейной корреляции и его свойства
- •14.3. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента линейной корреляции
- •14.4. Выборочное уравнение линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
- •14.5. Нелинейная регрессия
- •14.6. Варианты заданий
- •Приложение
- •Критические значения выборочного коэффициента корреляции
- •Критерий Колмогорова – Смирнова Точные и асимптотические границы для верхней грани модуля разности истинной и эмпирической функции распределения
- •Распределение Пирсона (х2– распределение)
- •Распределение Фишера – Снедекора (f-распределение)
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 13. Статистический анализ результатов исследований 160
- •Глава 14. Корреляционный и регрессионный анализ 180
14.5. Нелинейная регрессия
Если
график регрессии
= f(x)
изображается
кривой линией (рис. 6), то это нелинейная
регрессия.
Выбор вида уравнения регрессии производится на основании опыта предыдущих исследований, литературных источников, профессионального мнения и визуального наблюдения расположения точек корреляционного поля. Этот очень важный этап анализа называется спецификацией.
Наиболее часто встречаются следующие виды уравнений нелинейной регрессии:
-
полиномиальное уравнение;
-
уравнение параболы второго порядка;
-
уравнение параболы третьего порядка;
-
гиперболическое уравнение.
Для определения неизвестных параметров регрессии используется метод наименьших квадратов.
По данным таблицы исследовать зависимость урожайности зерновых культур Y (кг/га) от количества осадков X (см), выпавших в вегетационный период.
n: |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15; |
xi: |
25 |
27 |
30 |
35 |
36 |
38 |
39 |
41 |
42 |
45 |
46 |
47 |
50 |
52 |
53; |
yi: |
23 |
24 |
27 |
27 |
32 |
31 |
33 |
35 |
34 |
32 |
29 |
28 |
25 |
24 |
25. |
Построить корреляционное поле точек и предположить наиболее подходящий вид уравнения регрессии.
Решение:
Увеличение количества выпавших осадков приведет к увеличению урожайности до некоторого предела, после чего урожайность будет снижаться. Учитывая расположение точек корреляционного поля, можно предположить, что наиболее подходящим уравнением регрессии будет уравнение параболы.
Рис. 14.6. Нелинейная регрессия
14.6. Варианты заданий
► Провести корреляционно-регрессионный анализ:
построить корреляционное ноле точек;
проверить значимость (α ≤ 0,05) коэффициента корреляции между переменными Х и Y;
построить линию регрессии.
№ 14.1. Изучали зависимость между содержанием коллагена Y и эластина X в магистральных артериях головы (г/100 г сухого вещества, возраст 36-50 лет).
Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 5:
xi: |
13,98 |
15,84 |
7,26 |
7,74 |
8,82; |
yi: |
35,50 |
42,82 |
47,79 |
43,29 |
49,47. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= - 0,85; тr
= 0,3; tнабл
= 2,84;
=-1,04 х
+ 58,97.
№ 14.2. Изучали зависимость между содержанием коллагена Y и эластина Х в магистральных артериях головы (г/100 г сухого вещества, возраст 51-75 лет).
Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 5:
xi: |
13,50 |
13,09 |
6,45 |
7,26 |
8,80; |
yi: |
33,97 |
38,07 |
53,98 |
46,00 |
48,61. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= -0,94; mr
= 0,2; tнабл
= 4,8;
=-2,3 х
+ 66,8.
№ 14.3. Изучали зависимость между систолическим давлением Y (мм рт. ст.) у мужчин в начальной стадии шока и возрастом X (годы). Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 11:
xi: |
68 |
37 |
50 |
53 |
75 |
66 |
52 |
65 |
74 |
65 |
54; |
yi: |
114 |
149 |
146 |
141 |
114 |
112 |
124 |
105 |
141 |
120 |
124. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= -0,61; mr
= 0,283; tнабл
= 2,3;
=-0,8 х
+ 177,8.
№ 13.6.4. Имеется двумерная выборка объемом 9: X - масса новорожденных павианов-гамадрилов (кг) и Y - масса их матерей (кг).
xi: |
0,7 |
0,73 |
0,75 |
0,70 |
0,65 |
0,70 |
0,61 |
0,70 |
0,63; |
yi: |
10 |
10,8 |
11,3 |
10 |
11,1 |
11,3 |
10,2 |
13,5 |
12. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= 0,02; mr
= 0,38; tнабл
= 0,05;
=0,43
х
+ 10,87.
№ 14.5. Изучали зависимость между суточной выработкой продукции на медицинском предприятии Y (т) и величиной основных производственных фондов X (млн руб).
Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 5:
xi: |
25,5 |
29,5 |
31,9 |
35,4 |
39,2; |
yi: |
9 |
13 |
17 |
21 |
25. |
Результаты расчёта на компьютере:
r
= 0,74; tнабл
= 7,62;
=0,67 х
– 4,79.
№ 14.6. Изучали зависимость между объемом валовой продукции Y (млн руб) и среднесуточной численностью рабочих X. Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 5:
xi: |
5,5 |
4 |
3 |
7 |
8; |
yi: |
40 |
35 |
32 |
46 |
50. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= 0,8; tнабл
= 6,2;
=3,2 х
+ 22,4.
№ 14.7. Изучали зависимость между минутным объемом сердца Y (л/мин) и средним давлением в левом предсердии X (см рт. ст.). Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 5:
xi: |
4,8 |
6,4 |
9,3 |
11,2 |
17,7; |
yi: |
0,4 |
0,69 |
1,29 |
1,64 |
2,4. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= 0,989; mr
= 0,084; tнабл
= 11,7;
=0,15
х
– 0,25.
№ 14.8. Изучали зависимость между объемом Y (мкм3) и диаметром Х (мкм) сухого эритроцита у млекопитающих. Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 9:
xi: |
7,6 |
8,9 |
5,5 |
9,2 |
3,5 |
4,8 |
7,3 |
7,4 |
6,8; |
yi: |
87 |
81 |
50 |
112 |
18 |
37 |
71 |
69 |
54. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= 0,96; mr
= 0,12; tнабл
= 7,99;
=14,28 х
– 32,5.
№ 14.9. Изучали зависимость между количеством гемоглобина в крови (%) Y и массой животных X (кг). Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 9:
xi: |
17,7 |
18 |
18 |
19 |
19 |
20 |
21 |
22 |
30; |
yi: |
74 |
70 |
80 |
72 |
77 |
76 |
89 |
80 |
86. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= 0,64; mr
= 0,29; tнабл
= 2,2;
=1,04 х
+ 56,95.
№ 14.10. Изучали зависимость между массой тела гамадрилов-матерей X (кг) и их новорожденных детенышей Y (кг). Под наблюдением находилось 20 обезьян.
xi: |
10 |
10,8 |
11,3 |
10 |
10,1 |
11,1 |
11,3 |
10,2 |
13,5 |
12,3 |
|
14,5 |
11 |
12 |
11,8 |
13,4 |
11,4 |
12 |
15,5 |
13 |
12,1; |
yi: |
0,7 |
0,73 |
0,75 |
0,7 |
0,65 |
0,65 |
0,7 |
0,61 |
0,7 |
0,63 |
|
0,7 |
0,65 |
0,72 |
0,69 |
0,78 |
0,7 |
0,6 |
0,85 |
0,8 |
0,75. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= 0,564; mr
= 0,2; tнабл
= 2,9;
=0,024
х
+ 0,42.
№14.11.
Изучали
зависимость между содержанием коллагена
Y
и эластина X
в магистральных артериях головы (г/100
г
сухого вещества, возраст 21-35 лет).
Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 5:
xi: |
14,9 |
16,72 |
7,73 |
9,9 |
8,84; |
yi: |
40,18 |
44,57 |
52,93 |
47,77 |
49,07. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= -0,85; mr
= 0,3; tнабл
= 2,84;
=-1,04
х
+ 58,97.
№ 14.12. Изучали зависимость между площадью поверхности тела Y (м2) и ростом женщин Х (см). Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 11:
xi: |
157 |
169 |
155 |
168 |
152 |
152 |
169 |
152 |
152 |
154 |
161; |
yi: |
1,74 |
1,74 |
1,67 |
1,51 |
1,52 |
1,55 |
1,58 |
1,58 |
1,44 |
1,67 |
1,42. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= 0,145; mr
= 0,4; tнабл
= 0,44;
=0,001 х
+ 1,23.
№ 14.13. Изучали зависимость между поверхностью Y (мкм2) и диаметром X (мкм) сухого эритроцита у млекопитающих.
Результаты наблюдений приведены в виде двумерной выборки объема 9:
xi: |
7,6 |
8,9 |
5,5 |
9,2 |
3,5 |
4,8 |
7,3 |
7,4 |
6,8; |
yi: |
149 |
169 |
72 |
190 |
43 |
60 |
167 |
162 |
144. |
Результаты расчета на компьютере:
r
= 0,95; mr
= 0,11; tнабл
= 8,53;
=27,9 х
– 60,63.