ТОНКМ / Теор-множ. смысл разности

19. Теоретико-множественный смысл разности двух целых не отрицательных чисел. В начальных классах понятие разности вводиться по средствам решения текстовых задач. Задача: в мяч играли 8 ребят, 5 ребят ушли домой. Сколько детей осталось играть в мяч? Графическая модель-условный рисунок. Теоретико-множественный смысл: дано множество из 8элементов. В нем выделено множество из 5 элементов. Необходимо найти дополнение. В=А\В Вывод: вычитание связано с дополнением подмножеств. ОПР1: разностью целых неотрицательных чисел а и в называют число элементов в дополнении множества В до множества А при условии: п(А)=а, п(В)=в, В<А. Вычитание связано со сложением – взаимообратные операции. ОПР2: разностью целых неотрицательных чисел а и в называется такое целое неотрицательное число с, сумма которого и числа в равна а. а-в=с а=в+с а-уменьшаемое, в-вычитаемое, с-разность. Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое необходимо из уменьшаемого вычесть разность. Теорема о существовании разности: разность целых неотрицательных чисел а и в существует только тогда, когда в<а. Дано: а, в-целые неотриц.числа а-в-разность Найти: в<а, 1)а=в; 2)в>а Доказательство: 1)если а=в, то в-а=0, а-в-существует. 2)если в<а,то а=в+с по определению отношения «меньше». А-в=с, по определению разности, т.е. разность а-в существует. 3)т.к. в-существует, то а=в+с, по определению разности, если с=0, то а=в, если с>0, то в<а, по определению «меньше». Следовательно в<а, что и требовалось доказать. Теорема о единственности разности : если разность целых неотрицательных чисел а и в существует, то она единственна. Дано: а, в-целые неотриц.числа а-в-разность

Доказать: а-в- единственна Доказательство(от противного): Пусть существует 2 значения разности: 1)а-в=с1 2)а-в=с2 По определению 2 следует: 1)а=в+с1 2)а=в+с2 Т.к. левые части равны, приравниваем и правые части: в+с1=в+с2, с1=с2, значит а и в единственны, что и требовалось доказать. Отношение «больше на», «меньше на»: чтобы узнать на сколько одно число меньше или больше другого, необходимо из большего числа вычесть меньшее. Правила вычитания: 1)Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых и к полученному результату прибавить другое слагаемое. А>с, (а+в)-с=(а=с)+в В>с, (а+в)-с=а+(в-с) А>с, и в>с-любая из формул. 2)Правило вычитания суммы из числа: Чтобы вычесть сумму из числа, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое. А-(в+с)=(а-в)-с В начальных классах данные правила применяются для рациональных вычислений (удобства).