Федеральное агенство по образованию

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Южный федеральный университет

Физический факультет

ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

«Спектры сигналов»

Составитель: сотрудник КРФ Шлома А.В.

г. Ростов-на-Дону

2007 г.

Спектры сигналов

Цель

Выполнить разложение в ряд Фурье и построить линейчатые спектры для следующих периодических сигналов:

1. гармонического сигнала;

2. гармонического сигнала с постоянным смещением;

3. симметричных импульсов прямоугольной формы;

4. симметричных прямоугольных импульсов с постоянным смещением;

5. несимметричных прямоугольных импульсов;

6. симметричных треугольных импульсов;

7. симметричных треугольных импульсов с постоянным смещением;

8. несимметричных пилообразных импульсов.

Краткие сведения из теории

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут быть использованы в качестве базисных для представления радиотехнических сигналов, особое место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Важность гармонических сигналов для радиотехники обусловлена рядом причин. В частности, гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых линейными электрическими цепями. Если на входе линейной цепи действуют гармонические колебания, то сигнал на ее выходе также остается гармоническим, отличаясь от входного лишь амплитудой и начальной фазой. Кроме того, техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала в базисе гармонических функций. Сумма отдельных гармонических компонент сигнала образует его спектр.

Математической моделью процесса, циклически повторяющегося во времени является периодический сигнал , обладающий свойствами

где – период сигнала.

Спектральное представление сигнала можно получить, используя разложение в ряд Фурье.

Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Ряд Фурье для периодического сигнала можно записать в виде

где

- постоянная составляющая функции , равная ее среднему за период значению;

– коэффициенты ряда Фурье, соответствующие амплитудам гармоник квадратурных составляющих;

– амплитуда k-й гармоники;

- начальная фаза k-й гармоники.

Зависимости и от порядкового номера-й гармоники (или от ее частоты) принято называтьамплитудными и фазовыми спектрами колебания соответственно.

Для периодических несинусоидальных колебаний амплитудный и фазовый спектры имеют дискретный характер, а расстояние по оси частот между смежными спектральными линиями равно .

Теоретически ряд Фурье содержит бесконечное число членов, однако, в большинстве практических случаев этот ряд достаточно быстро сходится, и при расчетах можно ограничиться сравнительно небольшим числом гармоник.

Чаще всего интересуются информацией, содержащейся в амплитудном спектре, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Приведем разложения в ряд Фурье некоторых сигналов.

Для прямоугольного колебания – меандра (рисунок 1) разложение в ряд Фурье

(1)

Рисунок 1 – Прямоугольное колебание

Для прямоугольного колебания со смещением (рисунок 2) разложение в ряд Фурье

(2)

Рисунок 2 – Прямоугольное колебание со смещением

В общем случае для периодической последовательности прямоугольных импульсов (рисунок 3)

Рисунок 3 – Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

с известными амплитудой , длительностью и периодомимпульса вводят параметр

который в радиотехнике принято называть скважностью последовательности. Для такой последовательности амплитуды гармоник

(3)

а постоянная составляющая

Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко , обладает богатым спектральным составом.

Принято говорить, что спектральная диаграмма рассмотренного вида обладает лепестковой структурой.

Для треугольных импульсов (рисунок 4)

Рисунок 4 – Треугольные импульсы

разложение в ряд Фурье

(4)

Для треугольных импульсов со смещением (рисунок 5)

Рисунок 5 – Треугольные импульсы со смещением

разложение в ряд Фурье

(5)

Для несимметричных однополярных пилообразных импульсов с нарастающей амплитудой (рисунок 6)

Рисунок 6 – Несимметричные однополярные пилообразные импульсы с нарастающей амплитудой

разложение в ряд Фурье

(6)

Для несимметричных однополярных пилообразных импульсов с уменьшающей амплитудой (рисунок 7)

Рисунок 7 – Несимметричные однополярные пилообразные импульсы

разложение в ряд Фурье

(7)