Инструкция по физ практикуму / RAB03-4A

Лабораторная работа № 3. Изучение пружинного маятника.

1 . Краткая теория.

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из состояния равновесия. Примером свободных колебаний могут служить колебания груза на пружине.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению х тела из положения равновесия.

Этому условию удовлетворяет упругая сила пружины F=-kx. Коэффициент k называется жесткостью пружины. Все другие силы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

В отсутствие затухания второй закон Ньютона для груза на пружине записывается в виде:

или .

Это уравнение называется уравнением гармонических колебаний. Величина ₀ называется собственной круговой частотой колебаний. Для груза на пружине

;

Гармонические колебания происходят по закону

x = x₀ cos (_t + ),

где x₀ и  - амплитуда и начальная фаза колебаний. Эти величины зависят от начальных условий.

При гармонических колебаниях кинетическая и потенциальная энергия периодически изменяются, но полная механическая энергия Е замкнутой системы, в которой отсутствуют силы сопротивления, остается неизменной. Для груза на пружине

; ;

.

При гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

При наличии сил трения (сопротивления) полная энергия системы уменьшается со временем, и колебания становятся затухающими.

Если сила сопротивления пропорциональна скорости (вязкое трение) F_тр = -bv, амплитуда колебаний А уменьшается по закону

A = x₀e ^{- t} , где = b/2m.

Постоянная  называется коэффициентом затухания. Интервал времени  = 1/, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e  2,7 раза, называется временем затухания.

2. Изучение силы упругости и потенциальной энергии пружины.

Согласно закону Гука, создаваемая пружиной сила равна F = -kx, где x - величина растяжения (сжатия) пружины, k - коэффициент упругости (жесткость) пружины. Знак минус указывает на то, что при растяжении пружина тянет влево (на рисунке красной стрелкой указано направление силы F при растяжении пружины). Если пружину сжать, то x окажется отрицательной величиной и пружина будет давить вправо.

Потенциальная энергия пружины E_п равна работе A, которую нужно совершить, чтобы растянуть (сжать) пружину.

Теперь вы должны выполнить указанные преподавателем варианты контрольного задания. Результаты расчета необходимо записать в лабораторную тетрадь и показать преподавателю.

Вариант 1. Упругая невесомая горизонтальная спиральная пружина растянута на x₀ = 15 см. Найти потенциальную энергию растянутой пружины, если известна ее жесткость k = 10 Н/м.

Вариант 2. Найти жесткость k невесомой горизонтальной спиральной пружины, если известно, что работа силы растяжения пружины при увеличении ее длины на x₀ = 20 см равна A = 2 Дж.

Вариант 3. Упругая невесомая горизонтальная пружина была сжата на x₀ = 5 см. Найти работу сжатия пружины, если ее жесткость k = 10 Н/м.

3. Изучение свободных колебаний пружинного маятника.

Если сила, действующая на тело, пропорциональна его смещению относительно начала координат и всегда направлена к началу координат, то такая сила называется гармонической. Выбирая в качестве направления смещения ось x, мы получаем для гармонической силы выражение F = -kx, где x - смещение тела из положения равновесия.

Как показано в разделе 2 настоящей лабораторной работы, сила, действующая со стороны растянутой (или сжатой) пружины, обладает именно таким свойством, если только пружина не деформируется за пределы области упругости. В случае действия этой силы на тело в отсутствие сил трения мы имеем свободные колебания тела, описанные в разделе 1. Подробно изучим их.

Сейчас необходимо выполнить указанные преподавателем варианты контрольного задания. Результаты измерений следует записать в лабораторную тетрадь и показать преподавателю.

Вариант 1. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой m = 1 кг, прикрепленный к горизонтально расположенной легкой пружине с жесткостью k = 10 Н/м. Шар сместили так, что пружина растянулась на x₀=15 см, и затем отпустили. Определить период T колебаний и максимальную скорость шара.

Вариант 2. Шарик массой m = 1 кг колеблется с периодом T = 2 с. В начальный момент времени смещение шарика x₀ = 15 см. Определить максимальную скорость шарика.

Вариант 3. Грузик массой m = 1 кг, прикрепленный к горизонтальной пружине, колеблется по горизонтали с периодом T = 2 с. Определить жесткость пружины k .

Вариант 4. К горизонтальной невесомой спиральной пружине с жесткостью k = 5 Н/м прикрепили грузик массой m = 0,7 кг и сместили так, что пружина растянулась на x₀ = 17 см. Каков будет период T колебаний и максимальная скорость грузика, если его отпустить?

Вариант 5. Гиря, массой m = 0,6 кг, прикрепленная к горизонтальной невесомой пружине, колеблется по горизонтали с амплитудой x₀ = 15 см. Определить в момент t = 2с кинетическую, потенциальную и полную энергию E колебаний гири, если жесткость пружины k =10 Н/м.

Вариант 6. К горизонтальной невесомой спиральной пружине, расположенной на поверхности идеально гладкого стола, прикреплен груз, массой m = 0,8 кг. Зная, что максимальная кинетическая энергия колебаний груза равна (E_к)_max = 0,1 Дж, найти коэффициент деформации (жесткость) пружины k, а также смещение x и скорость груза в момент времени t = 2 с. Амплитуда колебаний x₀ =15 см. Сначала вычисляется k, а затем проводятся измерения.

Вариант 7. Как изменится период горизонтальных колебаний и максимальная скорость пружинного маятника, если жесткость пружины увеличится вдвое?

Вариант 8. Медный шарик, прикрепленный к невесомой спиральной пружине, расположенной на поверхности идеально гладкого стола, совершает горизонтальные колебания. Как изменится период колебаний и максимальная скорость, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса? Считать отношение плотностей меди и алюминия равным 2 (в действительности 3).

Вариант 9. Определить период колебаний и максимальную скорость пружинного маятника, если его масса m = 1 кг, а упругость (жесткость) пружины k =10 Н/м при x₀ = 20 см.

4. Изучение затухающих колебаний пружинного маятника.

При наличии сил трения (сопротивления) полная энергия тела уменьшается со временем и колебания становятся затухающими.

Изучим такие колебания, полагая, что сила трения, действующая на колеблющееся тело, пропорциональна его скорости (вязкое трение) F_тр = -bv.

Выполним указанные преподавателем варианты контрольного задания.

Вариант 1. Амплитуда затухающих колебаний пружинного маятника за время t₁ = 2 с уменьшилась в два раза. За какое время t₂, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

Вариант 2. За время t = 5 с амплитуда затухающих колебаний пружинного маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания . Найти смещение x и скорость маятника в момент времени t = 3 с при T = 2,5 с, x₀ =18 см, k = 5 Н/м.

Вариант 3. Амплитуда A колебаний пружинного маятника за время t = 3 с уменьшилась в два раза. Определить время затухания . Найти смещение x и скорость маятника в момент времени t = 1 с при T = 2 с, x₀ =20 см, m = 1 кг, k = 9,9 Н/м.

Вариант 4. Время затухания колебаний пружинного маятника = 10 с. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда A уменьшилась в два раза? Найти смещение x и скорость маятника в момент времени t = 2 с при T = 2 с, x₀ = 20 см, m = 1 кг, k = 9,9 Н/м.

Вариант 5. Гиря массой m = 1 кг прикреплена к горизонтальной невесомой спиральной пружине с жесткостью k =10 Н/м и совершает упругие колебания по горизонтальной поверхности стола. Время затухания =10 с. Сколько колебаний должна совершить гиря, чтобы амплитуда A колебаний уменьшилась в два раза? За какое время t произойдет это уменьшение?

Вариант 6. Тело массой m = 1 кг прикреплено к горизонтальной невесомой спиральной пружине с k =9,9 Н/м и совершает затухающие колебания на поверхности стола. В течение времени t = 6 с тело потеряло 60% своей энергии. Определить коэффициент затухания . Сначала при любом x₀ вычисляется x при t = 6 с. Затем проводятся измерения.

Контрольные вопросы.

1. Что называется упругой силой, жесткостью пружины?

2. Напишите выражение для потенциальной энергии пружины.

3. Что называется гармоническим колебанием?

4. Напишите выражения для смещения колеблющейся точки.

5. Что называется амплитудой, периодом, фазой колебания?

6. Напишите формулу периода колебаний пружинного маятника.

7. Чему равна энергия колеблющегося тела?

8. Что называется незатухающим колебанием?

9. Что называется затухающим колебанием?

26