Уравнение линейной множественной регрессии в матричной форме

Y = Xа +  ,

где  – вектор значений зависимой переменной размерности (n x 1);

Х – матрица значений независимых переменных;

x₁, x₂ ,..., x_k– размерность матрицыХравнаn x (k+1). Первый столбец является единичным, так как в уравнении регрессииа₀умножается на единицу;

а – подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности(k+1) х 1;

- вектор случайных отклонений размерности (n х 1).

.

Формула для вычисления параметров регрессионного уравнения по методу наименьших квадратов

)^-1 Y,

где – транспонированная матрицаХ,

)^-1 – обратная матрица.

Оценивание достоверности каждого из параметровмодели осуществляется при помощиt-критерия Стьюдента. Для любого из параметров моделиa_j, значениеt-критерия рассчитывается по формуле:

,

где S_ – стандартное (среднее квадратическое) отклонение уравнения регрессии. Оно определяется по формуле:

;

b_jj — диагональные элементы матрицы)^-1.

Коэффициент регрессии а_j считается достаточно надежным, если расчетное значениеt-критерия с(п - k - 1) степенями свободы превышает табличное, т.е.t_расч > t_,n-k-1.

Если надежность коэффициента регрессии не подтверждается, то следует вывод о несущественности в модели факторного j-го признака в необходимости его устранения из модели или замены на другой факторный признак.

Коэффициент эластичности и -коэффициент

Важную роль при оценке влияния факторов играют коэффициенты регрессионной модели. Однако непосредственно с их помощью нельзя сопоставлять факторные признаки по степени их влияния на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени колеблемости.

Для устранения таких различий применяются частные коэффициенты эластичности Э_j и бета-коэффициенты _j .

Формула определения коэффициента эластичности:

,

где а_j – коэффициент регрессии фактораj;

– среднее значение результативного признака;

- среднее значение признакаj.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная упри изменении фактораj на 1%.

Формула определения бета-коэффициента:

,

где S_xj – среднее квадратическое отклонение фактора j;

S_y– среднее квадратическое отклонение фактораy.

-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения S_yизменится зависимая переменнаяус изменением соответствующей независимой переменнойx_j на величину своего среднего квадратического отклонения при фиксированном значении остальных независимых переменных.

Указанные коэффициенты позволяют проранжировать факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную.

Дельта-коэффициент

Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов j.

,

где r_xj– коэффициент парной корреляции между факторомjи зависимой переменной;

R²– множественный коэффициент детерминации.

Коэффициент множественной детерминации

Коэффициент множественной детерминации используют для оценкикачества множественных регрессионных моделей.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием факторных признаков, т.е. определяет, какая доля вариации признака уучтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов, включенных в модели.

Чем ближе R²к единице, тем выше качество модели.

Формула коэффициента множественной детерминации:

.

При добавлении независимых переменных значение R²увеличивается, поэтому коэффициентR²должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных по формуле:

.

Для проверки значимости модели регрессии используетсяF-критерий Фишера. Он определяется по формуле

.

Если расчетное значение критерия F-Фишера со степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

В качестве меры точности модели применяют стандартную ошибку, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (п –k - 1):

.