Процесс квантования

Как уже отмечалось в главе 3, квантованием называется процесс преобразования истинных значений отсчетов сигнала в двоичные числа, имеющие конечное число разрядов. Там же было введено понятие шума квантования. В данном разделе мы обсудим шум квантования несколько подробнее, а также рассмотрим идею неравномерного квантования.

Шум квантования

Как было отмечено выше, при представлении отсчетов дискретного сигнала в виде чисел с ограниченной разрядностью происходит их округление. Разность между исходным и округленным значениями называется шумом квантования.

Анализ вопросов, связанных с шумами квантования и ошибками округления в цифровых системах обработки сигналов, весьма сложен. Рассмотрим лишь несколько положений общего характера.

В качестве иллюстрации процесса квантования на рис.16.2 показаны (без дискретизации по времени) гармонический сигнал , результат его квантования и возникающий при этом шум . Очевидно, что значения шума квантования лежат в следующих пределах:

где - расстояние между соседними уровнями квантования, то есть разность между ближайшими возможными значениями квантованного сигнала.

В большинстве случаев можно считать случайным процессом, имеющим равномерное распределение вероятности в указанных пределах. Такой случай­ный процесс имеет нулевое среднее значение и дисперсию, равную .

Рис.16.2. Процесс квантования гармонического сигнала

ЗАМЕЧАНИЕ _________________________________________________________

На рис.16.2 предполагалось, что при квантовании производится округление значений уровня сигнала. В реальных АЦП вместо этого может использоваться усечение, то есть округление в сторону меньшего значения. В этом случае шум квантования лежит и диапазоне 0…∆ , его среднее значение равно , а дисперсия, как и в случае округления, составляет .

После дискретизации шум квантования представляет собой последовательность чисел , образующую дискретный случайный процесс. Во многих случаях отсчеты этой последовательности можно считать некоррелированными друг с другом.

В качестве примера рассчитаем отношение сигнал/шум (signal-to-noise ratio, SNR) при квантовании гармонического сигнала. Пусть квантованию подвергается гармонический сигнал с амплитудой А. Определим отношение сигнал/шум, разделив эту амплитуду на среднеквадратическое значение шума квантования:

где - число уровней квантования, укладывающихся в размахе сигнала. АЦП, имеющий двоичных разрядов, обеспечивает уровней квантования. Если размах сигнала соответствует полному рабочему диапазону АЦП, то отно­шение сигнал/шум равно:

Если выразить этот результат в децибелах, получится простая формула, показы­вающая связь между числом двоичных разрядов, используемых для представле­ния отсчетов сигналов, и максимально достижимым в этом случае отношением сигнал/шум:

Неравномерное квантование

Равномерное квантование, о котором шла речь до сих пор, гарантирует, что размах шума квантования не будет превосходить величины шага квантования (за исключением тех случаев, когда значение входного сигнала выходит за допустимые пределы).

Однако если потребовать минимизации среднеквадратического значения шума квантования, оптимальный набор уровней квантования будет зависеть от статистических свойств сигнала, а именно от плотности вероятности его мгновенных значений.

В этом случае интуитивно ясно, что уровни квантования должны располагаться плотнее друг к другу в областях тех значений, которые сигнал принимает с боль-рей вероятностью.

Идея неравномерного квантования в общем случае формулируется следующим образом: диапазон возможных значений сигнала делится на зон квантования . Зонам квантования сопоставлены квантованные значения . Если входной сигнал попадает в диапазон , его квантованное значение принимается равным .

Итак, пусть сигнал имеет плотность вероятности и мы хотим осуществить его -уровневое квантование так, чтобы сделать нулевым среднее значение и минимизировать дисперсию шума квантования. Среднее значение ошибки квантования будет равно:

,

где — математическое ожидание сигнала , а - вероятность попадания сигнала в -ю зону квантования.

Средний квадрат ошибки рассчитывается как

.

Приравнивание к нулю частных производных этого выражения по ak и bk дает следующие соотношения для оптимальных параметров квантования:

(16.1)

Данные формулы при известной плотности вероятности p(x) дают систему не­линейных уравнений относительно и . Аналитическое решение этой системы даже для несложных функций оказывается весьма непростым, и его в боль­шинстве случаев приходится искать численными методами.

ЗАМЕЧАНИЕ _____________________________________________________________

Выполнение условий (16.1) автоматически обеспечивает и нулевое среднее значение шума квантования

Если формула для плотности вероятности сигнала неизвестна, но имеется «ти­пичный» набор его отсчетов, можно произвести оптимизацию параметров кван­тования но этому тестовому набору. Поиск оптимальных значений и в этом случае производится численным итерационным методом (см. далее в этой главе описание функций MATLAB quantiz и lloyds).

Неравномерное квантование применяется, например, в современных цифровых телефонных сетях. Малые значения речевого сигнала более вероятны, чем боль­шие, поэтому используется нелинейное преобразование сигнала, когда диапазон значений, при равномерном квантовании представляемый 12 двоичными разря­дами (4096 уровней), квантуется на 25G (8 двоичных разрядов) неравномерно рас­положенных уровней согласно рекомендации ITU-T G.711. Зависимость уровня квантования от его номера представляет собой кусочно-линейную аппроксимацию экспоненциального закона. В цифровых каналах связи передаются 8-разрядные номера уровней квантования, а при цифроаналоговом преобразовании они конвертируются в 12-разрядные значения соответствующих им уровней сигнала