26

Расчет передаточной функции, частотной и импульсной характеристик Дискретных линейных систем (длс) Литература:

1. Незлин Д.В. Ведение в цифровую обработку сигналов: Учебное пособие. - М.: МИЭТ, 1996.- 188 с.: ил. С.31-51.

2. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002.- 608 с.:ил. С.189-200, 211-227.

3. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SPI/7 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. – М.: СОЛОН-Пресс, 2005. – 576 с.: ил. – (Серия «Библиотека профессионала»). С.181-192

Цели занятия:

1. Закрепить теоретические знания, полученные на лекциях;

2. Научиться пользоваться аппаратом MATLAB для расчета характеристик ДЛС во временной и частотной областях и анализа прохождения сигналов через ДЛС.

3. Получить первичные навыки в применении функций MATLAB для вычисления импульсной характеристики, передаточной функции и частотной характеристики.

1. Способы описания дискретных линейных систем (длс)

Принцип суперпозиции. ДЛС характеризуются тем, что для них справедлив принцип суперпозиции. Пусть при подаче на вход последовательности на выходе появляется последовательность , а при подаче на вход последовательности на выходе появляется последовательность . Тогда при подаче на вход последовательности

на выходе ДЛС будем иметь

.

Основными операциями в ДЛС являются суммирование (вычитание), умножение и временной сдвиг, с помощью которых реализуются и другие операции, например, интегрирование и дифференцирование.

Во временной области ДЛС описывается разностным уравнением и импульсной характеристикой, в частотной области – частотной характеристикой и передаточной функцией.

1. Описание длс во временной области Описание длс с помощью импульсной характеристики

Импульсной характеристикой ДЛС называется ее реакция на единичный дискретный импульс

Выходная последовательность ДЛС выражается дискретной сверткой входной последовательности и импульсной характеристики

,

при условии, что при .

Таким образом, для получения выходной последовательности ДЛС над входной последовательностью достаточно производить операции задержки, умножения на значения импульсной характеристики и суммирования произведений.

Описание длс с помощью разностных уравнений

Соотношение между дискретными последовательностями на выходе и входе ДЛС можно представить в виде разностного уравнения:

.

Одним из распространенных способов решения подобных уравнений является метод с использованием z-преобразования, выполнив которое над обеими частями получим

,

где символ соответствует сдвигу (задержке) на интервалов дискретизации.

Отсюда определится

Произведя обратное z-преобразование над , получим выходную последовательность .

Описание длс с помощью передаточной функции (функции передачи). Нули и полюсы. Полюсы и вычеты

При делении левой и правой части равенства на получим выражение передаточной функции ДЛС, которая по определению равна

.

ДЛС иначе называют дискретными фильтрами. ДЛС с такой передаточной функцией называется рекурсивным цифровым (дискретным) фильтром, поскольку в ней содержатся элементы обратной связи. Если коэффициенты передаточной функции равны нулю, то в фильтре отсутствуют элементы обратной связи и фильтр называется нерекурсивным.

2. Частотная характеристика ДЛС. Связь между различными характеристиками

Определение комплексной частотной характеристики

Комплексной частотной характеристикой ДЛС называется реакция системы на тестовый сигнал в виде дискретной комплексной экспоненты , деленная на входную величину

.

Таким образом, комплексная частотная характеристика ДЛС является преобразованием Фурье ее импульсной характеристики.

Свойства частотной характеристики ДЛС

Основные свойства частотной характеристики ДЛС – периодичность, симметричность АЧХ и антисимметричность ФЧХ при действительной импульсной характеристике определяются свойствами дискретного преобразования Фурье.

Связь между характеристиками ДЛС

Связь между импульсной и частотной характеристиками установлена выше. Найдем зависимость передаточной функции ДЛС от импульсной характеристики . Выходная величина ДЛС в соответствии с выражением (выше), в котором предел суммирования взят бесконечным, равна

.

Взяв z-преобразование от обеих частей соотношения, после несложных преобразований получим .

Таким образом, передаточная функция равна z-преобразованию импульсной характеристики. Значит, импульсная характеристика ДЛС равна обратному z-преобразованию передаточной функции, которое можно представить в виде суммы вычетов функции в ее полюсах

.

Для установления связи передаточной функции и частотной характеристики воспользуемся , где ограничим область изменения переменной окружностью единичного радиуса с центром в начале координат. Иными словами, примем . Действительно в интервале , переменная z описывает окружность единичного радиуса.

.

Данная формула позволяет просто определить комплексную частотную характеристику , путем простой замены переменной в известной передаточной функции ,.