Расчет дискретных (цифровых) фильтров. Алгоритм быстрого преобразования фурье. Проектирование фильтров на базе процессора бпф

1. Незлин Д.В. Введение в цифровую обработку сигналов: Учебное пособие. - М.: МИЭТ, 1995.- 118 с.: ил. С.13-22, 52-61.

2. Незлин Д.В. Основы цифровой обработки сигналов. Часть 2.: Учебное пособие. - М.: МИЭТ, 1992.- 95 с.: ил. С.7-23.

3. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002.- 608 с.:ил. С.249-258, 262-274,284-298.

4. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SPI/7 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. – М.: СОЛОН-Пресс, 2005. – 576 с.: ил. – (Серия «Библиотека профессионала»). С.217-220

Быстрое преобразование Фурье

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) представляет собой один из алгоритмов экономного вычисления ДПФ. При вычислении ДПФ по формуле , где - частотный дискрет, требуется примерно умножений. Периодичность множителей с периодом приводит к тому, что при непосредственном использовании приведенного выше алгоритма вычисления преобразования Фурье многие ариф­метические операции оказываются избыточными, в чем можно убедить­ся на следующем примере.

Пусть 16. При расчете среди прочих слагаемых в соответствии с (1) вычисляется значение

При определении вместе с другими величинами рассчитывается

т.е. данная величина вычисляется повторно. Если устранить подоб­ные излишества, объем вычислений, необходимых для определения БПФ, можно значительно сократить.

Наиболее известны алгоритмы с прореживанием по времени и по частоте. Рассмотрим первый из них, причем положим, что длина вход­ной последовательности (размерность массива входных выборок) , где - натуральное число. При наличии N входных выборок говорят также об N-точечном ДПФ.

Покажем, что N-точечное ДПФ можно определить по двум N/2-то­чечным ДПФ, каждое из которых соответствует одной из половин от­счетов входного напряжения. Разделим выборки и_n на две группы: к первой отнесем выборки с четными номерами n = 0, 2, ..., N -2, а ко второй - с нечетными номерами п = 1, 3, ...., N -1. Тогда ДПФ исходного массива данных можно записать в виде

.

Но

.

Поэтому

(2)

В (2) содержатся два /2- точечных ДПФ, которые обозначим

;

Особенность и состоит в том, что номер частот­ной составляющей k изменяется в пределах от 0 до N-1. В то же время спектральные компоненты N/2-точечных ДПФ являются перио­дическими функциями с периодом . Поэтому при к≥ N/2 -ые частотные составляющие определятся

,

аналогично для второго /2- точечного ДПФ

Кроме того, учтем, что для справедливо , так как .

Таким образом, частотные компоненты исходного - точечного ДПФ можно выра­зить через компоненты /2- точечного ДПФ следующим образом:

при

при

Каждое из равенств этого выражения дает половину частотных составляющих исходного спектра; первое - частотные составляющие с номерами , второе - составляющие с номерами . В качестве примера приведем выражения для и при N = 8:

, .

Уже сейчас можно заметить уменьшение числа арифметических опера­ций, выполняемых при расчете дискретного спектра.

При вычислении N спектральных составляющих по исходной формуле нужно выполнить примерно умножений. Если для этой цели исполь­зовать полученное нами выше выражение, то нужно произвести умножений при расчете спектров и . Кроме того, необходимо выполнить умножений вида .

Следовательно, общее число умножений составит , т.е. оно будет почти вдвое меньше, чем при использовании исходной форму­лы. Поэтому целесообразно каждое из N/2 -точечных ДПФ и представить в виде комбинаций ДПФ размер­ности N/4:

при

при

при

при

Здесь использованы следующие обозначения:

;

; .

Процесс разбиения продолжают до тех пор, пока в левых частях выражений типа (4) не окажутся двухточечные ДПФ вида

при k=0

при k=1

при k=0

при k=1

или, поскольку степень всех поворачивающих множителей W равна нулю,

при k=0

при k=1

при k=0

при k=1

Анализируя структуру приведенных выше выражений, можно сделать следующие важные выводы:

• вычисление частотных составляющих исходного ДПФ осуществляется путем проведения т итераций; первая выражается формулой (5), предпоследняя - формулой (4) и последняя - формулой (3);

• базовая операция, многократно используемая в алгоритме ДПФ (БПФ) и называемая «бабочкой», имеет вид

Здесь , причем - размерность выходного массива на данной итерации. Граф этой операции представлен на рис.1.

Рис.1. Граф «бабочки» - базовой операции БПФ.

• обращает на себя внимание малое число операций умножения. Используются только операции умножения вида . В каждой итерации осуществляется максимум N/2. операций умножения; факти­чески число нетривиальных умножений меньше N/2 из-за того, что некоторые поворачивающие, множители W равны единице;

• общее число умножений в описанном алгоритме W ^k не превы­шает

.

Выигрыш в числе умножений по сравнению с прямым вычислением БПФ по формуле (1) равен

(6)

В заключение данного раздела приведем структурную схему уст­ройства (рис.2), позволяющего использовать БПФ-процессор для вычисления 0ДПФ.

Рис.2. Структурная схема устройства ОДПФ.

В соответствии с формулами и в этом устройстве вычисляется функция, комплексно-сопряженная со спек­тром S (k), которая затем подвергается быстрому преобразова­нию Фурье. Числа на выходе процессора делятся на N и заменяются на комплексно-сопряженные.