Задача 1

Задача 1. Привести уравнение к каноническому виду.

U_xx - 4U_xz - U_yy - 2U_yz + 4U_zz = 0

Задача 2. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.

U_xx + 8U_xy +16U_yy - U_x - 4U_y = 0

Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.

12U_xx + 8U_xy + U_yy = 0

Задача 4. Решить спектральную задачу.

Задача 5. Найти решение первой смешанной задачи для одномерного волнового уравнения на отрезке.

U_tt = U_xx, 0<x<2, 0<t<;

U(x, 0) = 0, U_t(x, 0) = x(x-2), U(0, t) = U(2, t) = 0

Задача 10. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности на прямой.

, .

Задача 11. Найти решение первой смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности на отрезке.

, , ;

.

Задача 13. Найти решение задачи Дирихле для двумерного уравнения Лапласа в круге:

, , , где

,

Задача 6. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для двумерного волнового уравнения на плоскости:

U_tt = a² (U_xx + U_yy), (x, y)R², t>0,

U|_{t = 0} = U₀(x, y), U_t|_{t = 0} = U₁(x, y)

a = 4, U₀ = 5x² - 3y², U₁ = 4x² + 3xy

Задача 9. Используя формулу Кирхгофа, найти решение задачи Коши для трехмерного волнового уравнения в пространстве:

U_tt = a²(U_xx + U_yy + U_zz), (x, y, z)R³, t>0,

U|_{t = 0} = U₀(x, y, z), U_t|_{t = 0} = U₁(x, y, z),

где:

U₀ = 3x² – 4z² + 5xy, U₁ = x² + 5y² – 5xz,

a = 5