НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
|
n |
|
|
|
1. |
∑ Pix |
= 0; |
S1cos 45°– S2cos 45°=0, |
откуда S1=S2=S. |
|
i=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2. |
∑Сiy |
= 0; |
S3+Pcos 45°=0, откуда S3= –Pcos450= – 0,707 кН. |
|
|
i=1 |
|
|
|
Стержень 3 работает на сжатие. |
|
|||
|
n |
|
|
|
|
3. ∑ Piz |
= 0 ; – Pcos 45°– S1cos 45°– S2cos 45°=0, откуда |
||
i=1
Р+2S=0; S=S1=S2= – P/2= – 0,5 кН.
Стержни 1 и 2 сжаты.
Составляем три уравнения равновесия сил, приложенных в узле В:
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
∑Pix = 0; |
S4cos 45°– S5cos 45°=0; |
|
откуда S4=S5=S*. |
|||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
S 3 |
|
|
−0 , 7 0 7 = −1 кН. |
|
2. |
∑Piy = 0; |
– S +S cos 45°=0; |
S |
|
= |
|
= |
||||
|
c o s 4 5 o |
||||||||||
|
i=1 |
3 |
6 |
|
6 |
|
|
0 , 7 0 7 |
|||
Стержень 6 работает на сжатие. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∑Piz =0; |
–S4cos45°–S5cos45°–S6cos45°=0, |
|
откуда S6+2S*=0. |
|||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S*=S4=S5= − |
S6 |
= −−1 |
=0,5 кН. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стержни 4 и 5 работают на растяжение.
Ответ: S1=S2= – 0,5 кН; S3= – 0,707 кН; S4=S5= 0,5 кН; S6 = – 1 кН.
Равновесие тел без учета сил трения
Задача № 5 (4.7)
Однородная балка весом 600 Н и длиной L=4 м опирается одним концом на гладкий пол, а промежуточной точкой В – на столб высоты h=3 м, образуя с вертикалью угол 30°. Балка удерживается в таком положении верёвкой АС, протянутой по полу. Пренебрегая трением, определить натяжение верёвки Т и реакции RB столба и RC пола.
13
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Дано: G=600H L=4м α=30° h=3м
Определить: RB, RC, T
Решение
Балка ВС находится в равновесии под действием плоской системы сил: силы тяжести G, реакции гладкой поверхности в точках В и С и реакции верёвки Т.
При опирании на гладкую поверхность реакция направлена по общей нормали. Если одна из поверхностей является точкой, то реакция направлена по нормали к другой поверхности. Реакция верёвки (нити, каната, цепи) направлена вдоль нити и приложена в точке прикрепления верёвки к телу.
При составлении расчётной схемы прежде всего проводим систему координат ХАУ. Мысленно освобождаемся от связей, наложенных на балку, и заменяем их действие реакциями связей. Составляем три уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил. При составлении уравнения моментов сил за центр приведения, как правило, выбирается та точка, где пересекаются линии действия наибольшего количества неизвестных. В рассматриваемой задаче это точка С.
|
n |
|
= 0; |
|
|
G L cos60o -R |
BC = 0 |
|
||||||||
1) |
У M |
|
|
|
; |
|||||||||||
i=1 ic |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
B |
|
|
|
|||
|
BC = |
|
BA |
; |
G L cos60o |
-R |
|
|
BA |
= |
0; |
|||||
|
cos30o |
cos30o |
||||||||||||||
|
|
|
L |
2 |
|
B |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
G |
o |
cos30 |
o |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
RB = |
2 cos60 |
|
|
= 600 4 0,5 |
|
3 = 173 H . |
||||||||
|
|
|
BA |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 2 |
|
|
|||
14
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
n
2) У= Pix = 0; −T +RBcos30o =0 .
i 1
T = RBcos30o = 173 23 = 150 H.
n
3) У= Piy = 0; RC −G +RBcos60o = 0 ;
i 1
RC =G −RBcos60o =600 −173 0,5 =513 H.
Ответ: RB = 173 Н; RC = 513 Н; Т= 150 Н.
Произвольная плоская система сил
Задача № 6 (4.25)
Определить реакции опор А и В балки, находящейся под действием одной сосредоточенной силы и пары сил с моментом М. Направления нагрузок и геометрические размеры указаны на схеме.
15
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Решение
Балка находится в равновесии под действием задаваемых нагрузок: силы Р, момента М и реакций связей в шарнирах А и В. В шарнирно-неподвижной опоре А модуль и направление реакции определяются через её проекции на оси координат ХА и YА, так как её направление заранее неизвестно. В шарнирно-подвижной опоре В реакция RВ направлена перпендикулярно плоскости качения катков.
Составляем расчётную схему. Проводим оси координат Х, Y. Опорные реакции ХА, YА, RВ направляем по положительному направлению осей. Отбрасываем связи, наложенные на балку и заменяем их действие реакциями связей. Рассматриваем равновесие балки под действием задаваемых сил Р и М и реакций связей ХА, YA, RB.
Составляем три уравнения равновесия для рассматриваемой плоской системы сил. При составлении уравнения моментов за центр приведения выбираем точку, где пересекаются линии действия большего количества неизвестных.
n
iУ=1Pix = 0;
n
iУ=1Piy = 0;
n
iУ=1MiA = 0;
Из уравнения (3):
R B = |
M + P sin 6 0 o |
|
3 |
XA −P cos60o =0 . |
|
|
(1) |
||||
Y |
+R |
B |
−P sin60o |
=0 |
. |
|
(2) |
A |
|
|
|
|
|||
−M+R 3 −P sin60o 5 =0 |
. |
(3) |
|||||
|
|
B |
|
|
|||
5 = |
6 + 4 0, 8 6 6 5 |
= 7 ,77 кН. |
|
3 |
|
Из уравнения (2): YA =−RB +P sin60o =−7,77 +4 0,866 =−4,31 кН. Из уравнения (1): XA =P cos60o = 4 0,5 = 2 кН.
Ответ: XA= 2 кН; YA= – 4,31 кН; RB = 7,77 кН.
Задача № 7 (4.29)
Определить реакции заделки консольной балки, изображённой на рисунке и находящейся под действием равномерно распределённой нагрузки, одной сосредоточенной силы и двух пар сил.
16
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
Дано: q=3 кН/м, М1=2 кНм, М2=3 кНм, P = 4 кН, размеры показаны на чертеже.
Определить: реакции жёсткой заделки ХА, YА, МА.
Решение
1.Рассмотрим равновесие балки АВ, на которую действуют:
активная сила Р, пары сил с моментами М1 и М2, равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q и реакции связей ХА, YА, МА.
2.Заменяем распределённую нагрузку эквивалентной сосредоточенной силой, приложенной в середине загруженного участка
l.Q = q l = 3 3 = 9 kH
17
НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ
3. Составляем уравнения равновесия балки для плоской системы
сил:
n
iУ=1Pix = 0;
n
iУ=1Piy = 0;
n
iУ=1MiA = 0;
XA −P cos45o −Q =0; |
(1) |
YA +P cos 45o =0; |
(2) |
MA +P 4 sin45o −M2 +Q 8,5+M1 =0 . |
(3) |
4. Определяем искомые величины
из (1): |
XA =P cos45o +Q = 4 |
|
2 |
+9 =11,8 кН; |
||
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
||
из (2): |
Y = - P sin45o = - 4 |
|
2 |
= - 2,8 кН; |
||
|
|
|||||
A |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
из (3): |
MA =−P 4sin45о +M2 −Q 8,5−M1 = |
|||||
= -4 4 |
2 |
+3 - 9 8,5 - 2 = - 86,8 кН. |
|
2 |
|||
|
|
Ответ: XA= 11,8 кН; YA= – 2,8 кН; МА = – 86,8 кН.
Задача № 8
Рама, изображенная на рисунке, находится в равновесии под действием равномерно распределённой нагрузки q, сосредоточенной силы Р и момента М. Опорные закрепления: в точке А – шарнирно неподвижная опора, в точке В – стержень ВС. Требуется определить реакции опор.
18