Работа 3

Определение коэффициента теплопроводности металла

Теоретическое введение

§1. Распределение температуры вдоль металлического стержня

Рассмотрим распределение температуры вдоль металлического стержня, нагреваемого с одного конца.

1. Количество тепла, проходящее за 1с через сечение S в точках x и x+x

, (1) где  - коэффициент теплопроводности.

Количество тепла, отдаваемое отрезком стержня в окружающую среду , (2) где P – периметр сечения образца.

В установившемся режиме dQ = Q_x – Q_x+dx или

(3)

Представим dT/dx рядом Тейлора:

Ограничившись членами первого порядка, получим: т.е. . (4)

Дифференциальное уравнение второго порядка (4) описывает распределение температур.

2. Представим (4) в виде , где . (5) Решение уравнения (5) имеет вид T – T₀ = Ae^x + B^-x. Если температура стержня в точке x=0 равна T₁, то T₁ – T₀=A + B.

С другой стороны при x  0 температура стержня T  T₀ и поэтому A=0. Отсюда B=T₁–T₀ и распределение температур по стержню T-T₀=(T₁-T₀)e^-x. (6) Преобразуем (6) к виду . (7) Окончательно: . (8)

Для стержня круглого сечения P=d, а S=d²/4 и , (8^/) где d – диаметр стержня.

Для стержня квадратного сечения P=4d, а S=d² и , (8^//) где d – сторона квадратно стержня.

Изучение распределения температур по стержню, нагреваемому с одного конца, позволяет определить величину .

(9)

§2. Охлаждение нагретого стержня

1. Нагреем стержень до некоторой температуры и предоставим ему охлаждаться. Охлаждение стержня подчиняется закономерности:

–cmdT=(T-T₀)S_бокdt, (10) если пренебречь распределением температур по сечению стержня и считать, что для стержня Sосн<<Sбок.

Запишем (10) в виде –cm(T-T₀)=(T-T₀)S_бокdt (1).

Решение уравнения (11) имеет вид: , (12) где T^/ – температура в момент времени t=0.

2. Для экспериментальной проверки удобнее линеаризированная функция от времени .

Тогда . (13)

Из уравнения (13) .

Для стержня круглого сечения S_бок=dl и , где d – диаметр стержня, l – длина стержня, m – масса стержня, с – удельная теплоёмкость материала стержня.

Практическая часть

Упражнение 1: Изучение распределения температур вдоль металлического стержня

1. Схема установки представлена на рисунке

Стержень размещается на подставках 1 и 2. Под стержнем располагается индикатор температуры на анизотропных термоэлементах, подключенный к электронному милливольтметру. На конце стержня размещается нагревательная печь, питаемая от ВС-24.

Положение индикатора ИТ фиксируется по шкале, что позволяет изучать зависимость T-T₀=f(x).

Сигнал индикатора в мкв (U) определяется излучением с поверхности стержня. Величина U=b(T-T₀), где b характеризует поток тепла воспринимаемый индикатором.

При излучении распределения температур функция (8) может быть заменена , где U₀ – показание милливольтметра в мкв в точке с выбранной координатой х=0; U(x) – показание милливольтметра в точке, удалённой на расстояние х.

2. Выполнение работы.

а) Поместите нагревательную печь на конец стержня. Подключив ВС-24 к сети, установите ток в печи 1,5А. Индикатор поместите у холодного конца. Выждите 10-15 мин, пока не установится стационарное распределение температур по стержню.

б) Перемещая индикатор от холодного конца, снимите показания милливольтметра в 8-10 точках. Не держите индикатор долго в определённых точках, чтобы не вызвать нагревание корпуса, приводящее к искажению Т₀.

Результаты занесите в таблицу.

d =
x
U
U0/U(x)
ln(U0/U(x))

3. Обработка результатов.

a) Постройте график зависимости ln(U₀/U(x))=f(x).

б) Используя линейный участок зависимости, найдите tg.

в) Рассчитайте отношение . Результаты расчётов занесите в таблицу.

D	tg 	/

Упражнение 2: Изучение временной зависимости охлаждения стержня

1. Схема установки.

Стержень для нагревания помещается в нагревательную печь. Ток в спирали печи составляет 0.5 А.

После нагревания стержень переносится в установку, используемую в упр. 1 и снимается зависимость показаний милливольтметра от времени.

2. Выполнение работы

а) Поместите стержень внутрь нагревательной печи. Подключив ЛАТР к сети. Установите ток нагрева 0.5 А. Выждите 15 мин., пока стержень нагревается. Установите индикатор посередине.

б) Нагретый стержень перенесите в установку, используемую в упр. 1.

Снимите зависимость показаний милливольтметра от времени при уменьшении U в 10 раз. Результаты занесите в таблицу.

t
U
lnU

3. Обработка результатов

а) Постройте график lnU=f(t)

б) Выбрав линейный участок, найдите tg .

в) Рассчитайте  - коэффициент, характеризующий излучение энергии с поверхности

с	m	d	l	tg 	

Задание: Расчёт коэффициента теплопроводности

Используя результаты упражнений 1 и 2, рассчитайте коэффициент теплопроводности материала стержня.

=

4