Скляр в пересказе Орешкина

где 2 - дисперсия n. Нормированная гауссова функция плотности процесса с нуле-

вым средним получается в предположении, что 1.

Основной спектральной характеристикой теплового шума является то, что его спектральная плотность мощности одинакова для всех частот, представляющих интерес для большинства систем связи; другими словами, источник теплового шума на всех часто-

тах излучает с равной мощностью на единицу ширины полосы - от постоянной состав-

ляющей до частоты порядка 1012 Гц.

В словосочетании "белый шум" прилагательное "белый" используется в том же смысле, что и для белого света, содержащего равные доли всех частот видимого диапазо-

на электромагнитного излучения.

1.8. Передача сигнала через линейные системы

Поскольку систему с равным успехом можно охарактеризовать как в частотной, так и во временной области, в обоих случаях были разработаны методы, позволяющие анали-

зировать отклик линейной системы на произвольный входной сигнал. Сигнал, поданный на вход системы, можно описать либо как временной сигнал, x(t), либо через его Фурье-

образ, X(f).

Линейная, инвариантная относительно времени система или сеть описывается (во временной области) импульсной характеристикой h(t), представляющей собой реакцию системы при подаче на ее вход единичного импульса (t).

Здесь знак * обозначает операцию свертки.

Частотный выходной сигнал Y(f) получаем при применении преобразования Фурье к обеим частям уравнения (1.21). Поскольку свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной (и наоборот), из уравнения (1.21) получаем

(1.22)

или

Ширина полосы фильтра нижних частот определяется в точке половинной мощно-

сти; эта точка представляет собой частоту, на которой мощность выходного сигнала равна половине максимального значения, или частоту, на которой амплитуда выходного напря-

В общем случае точка половинной мощности выражается в децибелах (дБ) как точ-

ка –3 дБ, или точка, находящаяся на 3 дБ ниже максимального значения. По определению

величина в децибелах рассчитывается как отношение мощностей P1 и P2 :

1.11. Дилемма при определении ширины полосы

Все конечные во времени сигналы имеют бесконечный спектр. В связи с этим су-

ществует несколько вариантов определения полосы сигнала.

Все критерии определения ширины полосы имеют одно общее свойство: они пы-

таются найти меру ширины W неотрицательной действительной спектральной плотности,

определенную для всех частот f . Некоторые наиболее распространенные определе-

ния ширины полосы показаны на рис.1.1:

а) ширина полосы половинной мощности - интервал между частотами, на которых значение Gx ( f ) падает до мощности, вдвое (или на 3 дБ) ниже максимального значения;

б) ширина полосы по первым нулям - наиболее популярной мерой ширины полосы в цифровой связи является ширина основного спектрального лепестка, в котором сосредо-

точена основная мощность сигнала (этому критерию недостает универсальности, по-

скольку в некоторых форматах модуляции отсутствуют явно выраженные лепестки);

13

в

Рис.1.1. Ширина полосы цифровых данных: а - половинная мощность; б - по первым нулям; в - мощность по уровню –x Дб

в) спектральная плотность мощности по уровню x дБ показывает, что за предела-

ми определенной полосы мощность Gx ( f ) должна снизиться до заданного уровня, мень-

шего максимального значения (в центре полосы).

Стоит отметить, что различные критерии не являются взаимозаменяемыми.

В данном пособии будет использоваться определение ширины полосы по уровню половинной мощности и по первым нулям.

Примеры задач

Пример 1. 1.

1) Найдите среднюю нормированную мощность сигнала x(t) Acos πf0t , используя усреднение по времени.

2) Найдите среднюю нормированную мощность, используя спектральную плот-

ность мощности.

Решение. 1)

2)

Пример 1.2. Сигнал с мощностью 10 Вт подают на усилитель с усилением 13 дБ.

1)Во сколько раз возрастет мощность сигнала после прохождения усилителя?

2)Какова будет мощность сигнала, выраженная в логарифмических единицах?

3)Усилитель с каким коэффициентом усиления потребуется для обеспечения мощ-

ности 60 дБм?

Решение.

Так как функция косинус периодическая, сигнал будет иметь мощностной харак-

тер, следовательно:

1)усиление в разах

13[дБ] 10[дБ] 3[дБ] 10 2 20;

2)мощность сигнала после усиления составит

3) поскольку 10 Вт мощности входного сигнала в логарифмических единицах пред-

ставляют собой 10 дБВт или 40 дБм, то для достижения заданной мощности сигнала по-

требуется усиление G 60 дБм 40 дБм 20 дБ или усиление в 100 раз.

Пример 1.3. Вычислите 10 (t)(1 t) 1 dt интеграл.

Решение.

Воспользуемся свойством дельта-функции:

Решение.

Для определения ширины полосы по первым нулям необходимо найти нули функ-

ции спектральной плотности мощности. Корни уравнения находим из условия:

15

при этом f 106

( f 106 )10 4 1 f 104 106 .

Ширина полосы равна 2 104 Гц.

Контрольные вопросы

1.Как определяется энергия (мощность) сигнала?

2.Что такое спектральная плотность?

3.Что такое автокорреляция?

4.Дайте определение понятия "шум".

5.Что такое математическое ожидание?

6.Дайте определение понятия "импульсная характеристика".

7.Что такое частотная передаточная функция?

8.Как определяется ширина полосы частот сигнала (системы)?

9.Что такое идеальный фильтр?

16

Глава 2. Форматирование и узкополосная модуляция

Обязательным условием передачи любого сигнала является форматирование

(formatting) - обеспечение совместимости сообщения (или исходного сигнала) со средст-

вами цифровой обработки.

Считается, что цифровые сообщения имеют логический формат двоичных нулей и единиц и с целью передачи проходят этап импульсной модуляции, в результате чего пре-

образуются в узкополосные (импульсные) сигналы. Затем эти сигналы могут передаваться по каналу передачи данных. К таким сигналам, спектр которых начинается от (или около)

постоянной составляющей и заканчивается некоторым конечным значением, применяется термин "узкополосный" (baseband) сигнал.

2.1. Форматирование

Информация, поступающая от источника информации, может быть представлена в текстовом виде или в виде аналогового сигнала. Для передачи такой информации по сис-

теме цифровой связи необходимо обеспечить однозначное отображение поступающей информации в "терминах" цифрового канала связи. Данные, уже имеющие цифровой формат, могут не проходить этап форматирования.

Текстовая информация преобразовывается в двоичные цифры с помощью кодера

(coder). Если информация является буквенно-цифровым текстом, то используется один из нескольких стандартных форматов - методов знакового кодирования: ASCII (American

Standard Code for Information Interchange), EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal

Interchange Code), код Бодо, код Холлерита и др.

Преобразование аналоговой информации складывается из процессов дискретиза-

ции (sampling) и квантования (quantization).

Во всех случаях после форматирования получается последовательность чисел, ко-

торые можно описать в виде двоичных цифр (бит).

17

2.2. Форматирование аналоговой информации

Если информация является аналоговой, ее знаковое кодирование (как в случае тек-

стовой информации) невозможно. Как говорилось выше, процесс преобразования анало-

гового сигнала в форму, совместимую с цифровой системой связи, состоит из дискретиза-

ции и квантования сигнала.

2.2.1. Дискретизация

Аналоговый сигнал и его дискретная версия связаны процессом, который называ-

ется дискретизацией (sampling process). Основная зависимость, связанная с понятием дис-

кретизации, - теорема Котельникова, которая формулируется следующим образом: сигнал с ограниченной полосой, не имеющий спектральных компонентов с частотами, которые превышают fm Гц, однозначно определяется значениями, выбранными через равные про-

межутки времени

Это утверждение также известно как теорема о равномерном дискретном представ-

лении (uniform sampling theorem). При другой формулировке верхний предел Ts можно

Критерий Найквиста - это теоретическое достаточное условие, которое делает воз-

можным полное восстановление аналогового сигнала из последовательности равномерно распределенных дискретных выборок. В инженерных расчетах для обеспечения 20%-ной ширины перехода фильтра защиты от наложения спектров используют инженерную вер-

сию критерия Найквиста

18

2.2.2. Квантование

Квантованием называется разбиение непрерывного диапазона амплитуд сигнала на конечный набор дискретных значений. От количества доступных для использования дис-

кретных значений прямо пропорционально зависит точность (качество) представления аналогового сигнала набором дискретных значений. Синусоида, квантованная с помощью

L = 40 уровней и L = 5 уровней квантования, представлена на рис.2.1. Разница видна не-

вооруженным глазом.

Рис.2.1. Квантованная синусоида

При использовании пяти уровней квантования весь диапазон значений сигнала

падающие между выбранными пятью значениями, округляются до ближайшего. Данное искажение сигнала называется шумом квантования и рассмотрено ниже.

Однако, чем больше уровней квантования используется для представления значе-

ний сигнала, тем больше информации придется передавать по каналу связи. Так, для представления восьми разных уровней (значений) потребуется 3 бита, а для передачи 256

разных уровней - 8 бит. Рассмотрим пример 2.1.

Можно вывести зависимость, выражающую соотношение между требуемым чис-

лом битов на аналоговую выборку и допустимым искажением, вызванным квантованием.

Итак, пусть величина ошибки вследствие квантования |e| определяется как часть р удво-

енной амплитуды напряжения аналогового сигнала.

19

Поскольку ошибка квантования не может быть больше q/2, где q - интервал кван-

тования, можем записать

где L - число уровней квантования.

Для большинства приложений число уровней достаточно велико, так что (L – 1)

можно заменить L, что и было сделано выше. Следовательно, из формул (2.4) и (2.5):

Важно отметить, что число битов на выборку, обозначенное через l в уравнении

(2.8), и число бит k, используемое в описании M-уровневой передачи данных, - это разные независимые значения. (Ниже приводится пример, который поможет понять, чем отлича-

ются эти два понятия.)

Кроме того, в некоторых случаях, когда имеет место неравномерное распределение вероятностей появления сигналов с разными амплитудами, возможно неравномерное квантование, т.е. диапазон значений разбивается неравномерно. Примером такого сигнала является человеческая речь.

20