(9.13)
9.4. Потенциальная точность измерений
Потенциальпая точпость измерений реализуется только с помо
щью устройств, использующих оптимальное правило оценки параметра.
При этом достигается наименьшая погрешность измерений. Например,
при байесовом правиле оценки - дисперсия ошибки
М{[8(у)-0У}= ff[Б(y)-0]2W(y/0)W(0)dyc/0,
гn
а при небайесовых правилах - дисперсия ошибки
М{[Б(у)-0]2}= f[Б(y)-0]\v(y/0)dy.
/'
W(y/0)W(0)
По формуле БайесаW(0/ у)=-...;.,_____ , поэтому
W(y)
д\n W(e / у) ~(111 W(y ! 0) + lпW(0)- ln W(y)] =
д0 д0
=д\пW(у/0)+дlпW(0) О.
д0 д0
дlпW(0)
Следовательно, если ---- = О , то
, д0
дlnW(0/y) дlnW(y/0)
д0 д0
Таким образом, если количество информации об оцениваемом па раметре 0 равно О, то байесова оценка по критерию максимума апосте риорной вероятности и оценка максимального правдоподобия совпада ют. Используя ОМП, потенциальную точность определим с помощью
соотношения
(9.14)
При этом удобно учесть, что
М{[д~l11W(y/0)]2}=-м{ ,:;, lnW(y/0+
дlпЛ(у/8) |
~[lпЛ(у/0) |
0=0 |
+ (0-0 |
0 )~1n Л(у/0)0=0, + |
д0 |
д0 |
|
" |
д0 |
1 |
1д2
+-(0-0 0 ) 2 - ,, lnЛ(y/0)0=0J=
2 дЕ)-
дд2
=д01пЛ(у/0)0=0" +(0-0 0 ) д02 lnЛ(у/0)0=011 =0.
Отсюда ОМТТ определяется по формуле
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
-ln Л(у/0)0=0 |
|
|
|
=0 - |
д0 |
(1 |
|
|
|
т |
О |
д2 |
|
|
|
|
|
|
д02 ln Л(у/0)0:::0" |
|
|
|
|
|
|
|
Определим дискриминационную характеристику: |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
-д0 lп Л(у / 0 )0 =0 (1 |
|
(9.16) |
D(y/0)=0 0 -0m = |
д2 |
. |
|
|
|
|
д02 ln Л(у/0)0=011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначив ln Л(у /0) =Z, структурную схему оптимального дис
криминатора представим схемой рис. 9.3. Дискриминатор должен фор-
мировать характеристику
|
|
|
D(y/0) делением первой про |
|
|
|
изводной Z' на вторую про |
|
tnл(y/e) |
изводную Z" . |
|
|
|
|
Для |
упрощения |
этого |
|
|
|
алгоритма |
возможны |
два |
|
|
|
|
|
|
подхода к вычислению вели |
|
|
|
чины Z": |
|
|
|
|
|
1) значение Z" в окрест- |
|
|
|
Рис. 9.3. Струюура оmимальноrо дискриминатора |
ности 0 - |
0о=О совrrадает с |
|
|
|
точностью до знака со значе |
нием Z (рис. 9.4), поэтому можно формировать D(y/0) как структуру
рис. 9.3, убрав из схемы блок вычисления Z";
2) можно аппроксимировать функцию Z=Zu(0-00) в окрестности
точки 0-00=0 зависимостью Z11=k[ 1-(а/2)(0-00)2] (рис. 9.4). Очевидно,
что Z" (0 - 00 ) ~ -ka = const и в окрестности точки 00-0т=О резко не из-
меняется. Вычисляем величину Z" =const и вводим в схему заранее. Общая схема следящего измерителя показана на рис. 9.5. Как
обычно, схема образует замкнутое кольцо автореrулирования, вклю
чающее дискриминатор, экстраполятор и синтезатор.
9.6. Оценка параметров сигнала на фоне "белого" шума
Используем метод максимального правдоподобия. Пусть
y(t)=u(l,0)+n(t), где OstsT; |
n(t) - "белый" гауссов шум. В этом |
случае (см. гл. 3) |
|
|
Л(у/0) = ехр{-2._J11(t,0)y(t)dt---'s,,2 |
(1)d1}. |
|
1 |
|
No о |
No о |
|
Все параметры сигнала делятся на энергетические, для которых u(t,0)=O при 0=0, и неэнерrетические, для которых u(t,0)=O при 0~0.
Рассмотрим энергетический параметр - |
амплитудуUт(t), а точнее |
амплитудный множитель 0 =а(/) |
в соотношении и(t,0) = aU111 (t), |
Л(у,а)= ехр{-2._Ja11(1)y(t)dt---Ja2ll 2 |
(t)d1}. |
|
|
|
1 |
|
|
No о |
|
No о |
|
При этом |
|
|
|
|
~ln Л(у/а)=-2._[Ju(t)y(t)dt- аJи2(t)dl]=О |
да |
N0 |
о |
о |
|
или
1'fu(t)y(t) dt
А о ____
ат=...а..._т
fz/(t)dt
о
Оценка несмещенная и наиболее эффективная. Потенциальная
точность оценки амплитуды
|
|
|
|
|
2 |
~ |
= |
------ |
а ~; |
CF; |
|
7" |
) |
=--=а- (2q), |
|
|
2 |
i/(t)dt |
N0 |
2Е1N0 |
|
|
|
J |
|
|
о
или относительная дисперсия при реальных шумах в области положи
тельных частот
(9.18)
К неэнерrетическим параметрам относятся, например, фаза, часто
та, время запаздывания. Оценка неэнерrетических параметров осущест вляется по формуле
|
лз |
|
Здесь |
в многоканальный |
|
|
|
|
коррелятор |
опорный |
сигнал |
|
|
|
|
подается с линии задержки с |
|
|
|
|
отводами, |
обеспечивающими |
|
|
|
|
сдвиг фазы на величину ЛТrо0• |
|
|
|
|
Потенциальная |
точность оцен |
|
|
|
|
ки фазы приходящего радио |
|
|
|
|
импульса может быть вычис |
|
|
|
|
лена по найденному зна~ению |
|
|
|
|
р(0,0о) =Р(ч>,ч>о) · |
|
|
|
|
|
|
2. Рассмотрим |
Рис. 9.8. Измеритель фазы приходящего радио- |
Пример |
импульса |
измеритель |
для |
оценки |
време- |
ни запаздывания сигнала со случайной начальной фазой и амплитудой
U(t,a, <р,т) = 2аИ,,,(t- т)cos[ю0(t- т)+ q>(t- т)+ q>],
где т =fu =2R/с , О ~ О ~ t - т ~ Тп .
Пусть
W(q>) = [2яГ1 , W(a) =-;..ехр{- а\},
(Уа 2а-а
при этом
i2;r rL)J
А(у/т) = A(ylт,a,q>)W(a)W(<p)dadq>.
9
В соответствии с результатами гл. 3
л(у / т )=__!!д___ехр { 2а-;Z2 (т) } ,
N0 +E N0 (N0 +E)
где Z(т)=J=~(т)+z~(т); квадратурные корреляционные интегралы
имеют вид
т
z1(т)= J.Гzu111(t-т)cos[w0(t-т)+q>(t-т)]y(t)dt,
о
т
z2(т)= J.Гzu,,,(t-т)sin[ю0(t-т)+q>(t-т)]y(f)dt,
о
Е =М{а2 Е}= ЕМ{а2 }=2а-;Е.
Максимально правдоподобная оценка, получаемая из соотношения
дZ2(т) =О
дт '
приводит к структуре измерителя, показанной на рис. 9.9.
ll t)
Схема выбор.1
Мi\КСИМУ
ма
а)
C'xe~ui вь~бо\Уd миксимума
б)
Рис. 9.9. Корреляци~нный (а) и фильтровой (6) измер1пели времени
запаздывания
Известно, что выходное напряжение схемы оптимальной обработ ки сигнала Uт(t) с точностью до постоянного множителя совпадает с
корреляционной функцией зондирующего сигнала R(т). Следовательно,
|
|
т |
|
+,:,:, |
|
р(т)= R(т) = - ' Jи(t)и•(t±т)dt=1- J!S(f)!2expU2Jr/т}d/. |
2Е |
2Е |
|
2Е |
|
|
|
о |
|
-00 |
|
Воспользуемся известным соотношением |
|
т |
|
|
|
+оо |
~ |
Jи;,(t):!: Um(t)dt = (}) 11 ~ |
fш11IS(f)l2dш=(2Jrj)11 |
fг1sсл12d/' |
о |
|
|
|
- tl) |
-tl) |
тогда |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 +оо |
lsu'}j2exp{j2Jr/т} dj', |
|
~р(т)=-(2я) |
JI2 |
|
дт |
2Е |
|
|
|
|
- if)
Запишем выражение для среднеквадратической (эквивалентной)
ширины спектра сигнала:
+оо
+оо J12 1sсл12 df
2~ J/2IS(f)j2 df =--:;.._У)___ =J~;'
J1scлl2 df
тогда
|
|
|
|
|
|
|
2(Е)2 |
д2р(т) |
2Е |
2лj' )2 |
|
No(No + Е) дт21r=O |
No(No + Е)( |
ск |
Обозначая, как всегда, |
E/N0 = q и EjN0 = q, получаем |
2 |
l+q |
l |
|
(9.21) |
(Yt |
= 2(q)2 с2яfc") 2. |
|
|
|
|
Пример 3. При расчете потенциальной точности измерителя сме щения частоты сигнала со случайной фазой и флюктуирующей ампли тудой (см. rл.3)
U(t, a,(fJ,(tJ) = 2аИ111(е)cos[ ((1) 0 +(tJ )t +(f)(/) + (fJ].
составим отношение правдоподобия
|
N |
f "а-2 |
22((1))} |
А(у/(1)) =--°-=ехр~ - а |
_ , |
|
N0 + Е |
l N0 (N0 + Е) |
1' |
|
- модуль корреляционного интеграла. |
где Z((I)) = fu1 |
1 (t)y(t)dt |
: |
|
|
|
о
Оценка максимального правдоподобия определяется из уравнения
дZ2 ,(1))
__(_=О . Это приводит к схеме измерителя (рис. 9. 1О), состоящей из
д(I)
т каналов, содержащих оптимальные фильтры, детекторы и схему вы бора максимума. Аналогично расчету потенциальной точности измери
теля времени запаздывания производится расчет потенциальной точно
сти измерителя смещения частоты:
