Литература / бакулев радиолокация распозн

Построение оптимальных устройств подавления активных

помех. Реализация оптимальной пространственной обработки при по­

давлении помехи от источника с угловой координатой 0 требует определения весовых коэффициентов w; (0) или при объединении последних

- весового вектора W(0), связанного с обратной корреляционной мат-

рицей R- 1(1,0). Если известны направления на источники помех и па­

раметры антенны, а также если помеха очень интенсивна, то матрицу

R- 1(t,0) можно вычислить однозначно. Поскольку в общем случае

R- 1(t,0) связана с корреляционными характеристиками помех и сигна­

лов, нахождение W(0) зависит от использованного при синтезе W кри-

терия оптимальности. При различных критериях, например, минимума

среднего квадратичного отклонения или максимума отношения мощно­

стей сигнала и помехи, вектор W будет связан с различными корреляци­

что помеха является

узкополосным гаус­

совским случайным процессом. В момент t

N

Yr(t)=U,(t)Jt;=

i=O

Рис. 8.7. Схема подав1пеля помех с корреляционной обрат­

ной связью на антенной решетке

где Y(t)=[y1(t),y2(t)...yN(t)]1' - вектор-столбец компонентов сигналов эле-

ментов антенны; Т- знак транспонирования матрицы.

=[y1 (t1},Y;(t2 ), ••• ,y;(tN)]. Вектор-столбец весовых коэффициентов обо-

значим W = [Wj, W2 , ••• , WN ]7'.

Используем критерий минимума среднего квадратического от­

клонения

201

где u0 - вектор опорного сигнала.

Следовательно,

М(Е2)= м{[uo(t)-yr(t)]2} =м{[uo(t)- ут(t)W]2 } min,

откуда

М{u~ + wтУ(t)Ут(t)W- 2u0(t)WтY(t)} =

=[M{[u 0 (t)]2 }+ М{WтУ(t)Ут(t)W} ]-2u0(t)M{WтY(t)} min.

Введем корреляционную матрицу выборок_], сигналов .источников

помех:

-

У1У1 ... У1У11

R(Y,Y)=M{Y(t)Yr(t)}= [··_· ... _··_· .

УпУ УпУп

и вектор-столбец взаимно-корреляционной матрицы опорного сигнала и

VМ[М(&2 )] =О. С учетом того, что wтR(Y, Y)W - квадрат скалярного

произведения (W, У)2 , где уут = R(Y, У), градиент от нее выражается

как VW[WтR(Y,Y)W] = 2R(Y, Y)W. Поэтому

VW[ u02 +WТR(Y,Y)W-2WТR(Y,u 0 ) ] =2R(Y,Y)W-2R(Y,u0 )=0,

откуда

R(Y, Y)W = R(Y,u 0 ),

или, умножая слева на R- 1(Y, У), получим

R- 1(Y, Y)R(Y, Y)W = R- 1(Y, Y)R(Y,u 0 ) .

В результате

IW =R- 1(Y, Y)R(Y, u0 ),

где 1 - единичная матрица.

Следовательно, алгоритм определения матрицы оптимальных ве­

202

Последнее выражение есть уравнение Винера - Хопфа в матрич­

ной форме. Предполагается, что матрица R(Y, У) ·не вырождена, следо-

вательно, существует обратная матрица R- 1(Y, У).

Если для отыскания оптимального вектора весовых коэффициен­

тов использовать критерий максимума отношения сигнала к помехам,

то оптимальный вект~р весовых коэффициентов

W01п = KR- 1(n х n)u(t),

rде К - некоторая JSОНстанта; п - шумовая составляющая входного сигнала. Критерий максимума отношения мощностей сигнала и помехи

применим в стационарных условиях, даже когда отсутствуют сигнал и

внешние помехи, и не учитывает деформацию ДНА, особенно в области

боковых лепестков.

Таким образом, при различных подходах к подавлению активных помех и любом критерии оптимальности приходим к схемам пространст­ венной весовой обработки с компенсацией мешающих сигналов. При этом комплексные весовые коэффициенты можно формировать, обращая матрицу входных реализаций помех и сигналов. Существует два способа такого обращения: прямой и рекуррентный. При больших размерах кор­ реляционных матриц N х N (N - число источников помех) требуются большие вычислительные и временные затраты. Обычно корреляционные

матрицы заранее неизвестны, поэтому их следует оценивать по входным

реализациям, а затем получать обратную корреляционную матрицу с по­ мощью, например, схем с корреляционной обратной связью.

Использование антенных решеток с устройствами формирования весов W(0) = W(Cх) с учетом корреляционных связей (рис. 8.6) требует

уменьшения длительности переходных процессов в устройстве или

уменьшения времени установления, а также сходимости результатов

оценивания к истинным значениям характеристик помех, т.е. адекватно­

сти измеренных характеристик помех истинным.

8.3. Устройства борьбы с комбинированными помехами

Поскольку возможны многочисленные комбинации активных и пассивных помех, рассмотрим частный пример устройства борьбы с комбинированной помехой, относящейся к классу гауссовых помех и состоящей из аддитивной смеси активной и пассивной помехи. Если

помеха - гауссов процесс и на входе приемного тракта состоит из адди­

тивной смеси собственного белого шума, пассивной коррелированной

помехи и активной помехи, то результирующую спектральную плот­

ность помехи можно представить в виде

203

Глава 9. Измерение

параметров сигнала

В радиолокации определение координат и элементов движения

объектов в пространстве осуществляется путем измерения параметров

принимаемых радиосигналов, отраженных или излученных объектом. Поскольку такое измерение длится ограниченное время и происходит на фоне шумов и помех, задача измерения параметров сигнала является

статистической. Оптимальное решение этой задачи ищут методами тео­ рии статистических решений - так называемой теории оценивания па­ рат11етров. Несмотря на сходство терминов "измерение" и "оценивание",

первый чаще употребляется при синтезе и анализе технического по­

строения измерителей, а второй - при математическом синтезе и анали­

зе алгоритмов и структур устройств оценивания параметров сигнала.

Для решения задачи оптимального оценивания параметров сигна­

лов возможны два основных подхода:

9.1. Байесовы оценки

При нахождении процедур измерения или оценивания параметров

сигналов используем математический аппарат и обозначения, принятые в гл. 3. Пусть 0 - истинное значение параметра, которое считаем слу-

чайной величиной. Его оценку или измеренное значение обозначим 0 .

Введем функцию потерь С(0,0) = C(0,d), где d =Е>, при этом для по­

лучения наилучшей оценки нужно минимизировать средний риск, ха­

го.

или апостериорный риск

206

пространство реализаций у.

Минимальный риск получаем при использовании правила оценки

о·(у):

r(W0 , о*)= minr(W0 , 8).

Пусть функция потерь квадратичная и равна С(0, 0) =(0 - 0)2 , тогда

r(y,o) = м{(0- о(у))2 1у}= м{0 2 ; у}-28(у)М{01у} +о2(у)= = [ Б(у)- М{ 0 /у}J2 + [ М{ 0 2 /у}-М2 { 0 /у}].

Поскольку первый член зависит, а второй не зависит от 8, то f(y,o) miп при условии [о(у)- М{о/ у}] min =О. Следовательно,

Дисперсия отклонения байесовой оценки еБ от истинного значения 0

Используем теорему Байеса и найдем связь И'(0 /у) и Л(у/0) :

W(0)Л(у/0)

:::::----'---~-:::::constW(0)Л(y/0).

fW(0)Л(у/0)d0

Алгоритмы (9.3) и (9.4) легко трансформируются в соотношения ·

Эти алгоритмы используют при синтезе структур измерителей.

Байесовы оценки являются математическим ожиданием оцениваемой

величины и оптимальны по критерию минимума среднего квадрата ошибки.

207

Пусть функция потерь равна С(0,0) = С1 -о(0 -0), где 0(0-0) -

дельта-функция, тогда

r= м{[сl -0(0-0)]/у}= Jrc1-б(0-0)]fV(0/ y)d0 =С1 -fV(0/ у).

9.2. 0ценки максимального правдоподобия

Если оцениваемый параметр не является случайной величиной, то

можно воспользоваться, например, методом максимального правдопо­

добия, когда используется fV(y/0)= L(0) - так называемая функция

правдоподобия. Оценкой максимального правдоподобия (ОМП) 0м на­

зывается такое значение0 , когда

L(0м) = maxeen L(0), поэтому

обеспечивает оптимальную процедуру нахождения0м .

9.3. Качество оценок

Качество оценок характеризуется их состоятельностью, несме­

щенностью и эффективностью.

Состоятельность оценок 0м,, - это сходимость по верш~тности к

оцениваемому параметру 0 при неограниченном увеличении размера

выборки п, т.е. для любого малого наперед заданного положительного

числа & > О

(9.8)

208

Нес.,нещетюсть оценки 8м11 - это равенство среднего по совокуп­

ности выборок размера п значения оценки истинному значению оцени­ ваемого параметра при любом значении п:

М{0л~п}=0. (9.9)

Следовательно, смещение оценки

ь/1(0) =м{0Л/п} - 0 .

Если Ь11(0) О лишь при неограниченном увеличении п, то такая

оценка называется асимптотически несмещенной, т.е.

Оценки, которые можно получить из выборок размером / < п, на­ зываются достаточны.ни оценкалш (или достаточными статистиками). Используя достаточные статистики, в число которых входит и отноше­ ние правдоподобия Л(у/0), можно упростить процедуры оценки пара­

метров или сократить процесс накопления входной информации для по­

лучения оценок.

Эффективность оценюJ 8м11 обеспечивается, если среднее значе­

ние квадрата отклонения оценки от истинного значения оцениваемого

параметра не больше, чем для любой другой оценки:

Рассмотрим неравенство Крамера - Рао. Пусть 8(у) = 0 - несме­

щенная оценка параметра 0, т.е.

М{8(у)}= f8(y)W(y / 0)c{v =0 ,

/'

или

f[8(y)-0]W(y/0)t(v =О.

/'

Дифференцируя это выражение по 0, получаем

J[o(y)-0]дW~8)dy- Jw(y/0)dy=O.

/"

J[б(у)-0]дW(у/8) dy=1.

д0

/'

209

f[o(y)-E>]W(y/0) дln~IE>)dy =

г

г

Применительно к последнему выражению, используя неравенство

Буняковскоrо - Коши - Шварца:

[fЛy)<p(y)dyт ~ f[f(y)]2dy f[<p(y)]2dy,

получаем

J(Ь(у)-0]2 W(yl<Э)<(y,Rдlri~/<Э)]'W(y/ Ь)<(у;,1,

после чего переходим к неравенству

м((а(у)-е]'}дlп~/<Э)]} 1.

Таким образом, дисперсия несмещенной оценки

Нижний предел дисперсии, получаемый при условии

называется дисперсией наиболее эффективной оценки (НЭО). Если су­

ществует НЭО, то она совпадает с ОМП.

Оценка максимального правдоподобия асимптотически оптималь­

на, так как она состоятельна, асимптотически не смещена и асимптоти­

чески наиболее эффективна.

Асшнптотическая наиболыиия эффективиость - это стремление в

пределе (при n ac) дисперсии оценки к нижнему пределу неравенства

Крамера - Рао:

210