Литература / М.И.Финкельштейн Основы радиолокации

положению (см. § 4.1) начинается в точке t — 0. Кроме того, условие (4.2.4) равносильно

Таким образом, функция взаимной корреляции в момент окончания полезного сигнала t ~ То образуется на выходе такого линейного фильтра, импульсная характеристика ко­ торого является (с точностью до постоянного множителя) зеркальным отображением полезного сигнала.

Рис. 4.4. Импульсная характеристика СФ

Функция g(t) = s (То — t) для заданного сигнала s (/) показана на рис. 4,4, причем можно использовать функцию

g (0 = (t0 - /), (4.2.6)

У которой t(^ То.

Однако выбор tQ < То недопустим. Действительно, им­ пульсная характеристика линейного фильтра является ре­ акцией на воздействие дельта-функции б (/) (действующей в точке t = 0), а реакция (отклик) не может возникнуть на выходе раньше начала сигнала. Это равносильно условию физической осуществимости фильтра (кроме того, требуется,

Структурная схема оптимального приемника при исполь­ зовании СФ сводится к рис. 4.5. Несмотря на выполнение одинаковой операции интегрирования, между коррелятором и СФ имеется различие. Оно заключается в том, что первый начинает работу в момент t — 0 и заканчивает ее в момент t = То, давая на выходе значение г. Для возобновления его действия необходимо установление коррелятора в началь­

220

ное состояние. Таким образов, коррелятор как система с переменными параметрами не инвариантен относительно задержки сигнала. СФ как система с постоянными парамет­ рами инвариантен относительно задержки сигнала. Если сигнал на входе задерживается на время ta, то выходная ре­ акция просто сдвигается на /а.

Из сказанного видно, что схема рис. 4.5 является схемой оптимального приемника и в том случае, когда время запаз­ дывания сигнала неизвестно. Поэтому в ряде случаев (за исключением сложных сигналов и длинных последователь­ ностей импульсов) СФ предпочтительнее, чем коррелятор.

Заметим еще, что так как изменение постоянного множи­ теля не меняет структуру оптимального приемника, то опи­ санные приемники остаются оптимальными и для слу­ чайного изменения амплитуды сигнала.

Перейдем теперь к частотной характеристике СФ. Вос­ пользуемся связью между частотной и импульсной характе­ ристиками линейной цепи

и соответствующих им спектров: равномерного для дельтафункции и в виде частотной характеристики цепи К (со), образуемой после прохождения равномерного спектра через цепь. Отсюда и следует (4.2.8), т: е. К (<о) является преобра­ зованием Фурье от функций g (/). Подставим в (4.2.8) им­ пульсную характеристику СФ в виде (4.2.6). Тогда

Km(e>)=k, j sftv-fje-Mdt.

—. 00

С помощью замены t0 — t =4 имеем

00

Л'согИ^^ое-^’ J s(/i)ei^xd4,

221

а после обратной замены 4 на i

Вместе с тем спектр полезного сигнала s (/):

—00

иS (co) = S (co) e-/Ш) — комплексно-сопряженные функ­ ции.

Таким образом, с точностью до постоянного множителя koe~i^<> (функция характеризует запаздывание на время /0) частотная характеристика СФ является комплек­ сно-сопряженной функцией спектра полезного сигнала. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) СФ

ного (ожидаемого) сигнала, а его фазочастотная характе­ ристика

складывается из аргумента спектра ожидаемого сигнала, взятого с обратным знаком, и аргумента задержки—2л/70.

В заключение этого раздела определим реакцию СФ при

222

где Rc (/') J s (/) s (t—t') dt—автокорреляционная функ­

ция сигнала s (t).

Следовательно, по отношению к полезному сигналу СФ является автокорреляционным устройством. Так как мак­ симальное значение автокорреляционной функции равно Rc (0), то максимальное значение напряжения сигнала на выходе СФ будет при t — tQ

00

«согшах =^scor(i0) = k0Rc(Q) = k0 J s2 (t) dt ~ k0Ec, (4.2.16)

—- co

где Ec — полная энергия входного сигнала.

2. Отношение сигнал-помеха на выходе СФ. Из преды­ дущего следует, что СФ обладает неравномерной амплитудночастотной характеристикой. Он наилучшим образом про­ пускает те составляющие, которые наиболее сильно выраже­ ны в спектре полезного сигнала, и подавляет слабые спект­ ральные составляющие, так что форма сигнала на выходе СФ искажается. Вместе с тем такой «рациональный» спо­ соб фильтрации позволяет подавить составляющие помехи (например, белого шума, имеющего одинаковую интенсив­ ность на всех частотах).

Фазочастотная характеристика СФ обеспечивает обра­ зование максимального пикового значения сигнала. Дей­ ствительно, возьмем какую-либо гармоническую составляю­ щую сигнала на частоте f. Фаза этой составляющей равна 2л// плюс фаза, определяемая спектром сигнала ,*(4.2.10)

равная ф (/). Гармоническая составляющая с фазой2л//—

—ф(/) после прохождения через СФ сдвигается на уголф (/), а также на — 2nft0 [формула (4.2.9)]. Таким образом, резуль­ тирующая фаза данной гармонической составляющей на выходе СФ равна 2л// — Ф (/) + Ф (/) — 2nftQ — 2л/(/ —/0), т. е. результирующая фаза независимо от частоты обраща­

рез СФ сдвигается в обратном направлении на тот же угол ф (/), т. е. начальный фазовый сдвиг компенсируется (линей­ но-фазовый сдвиг — 2 я //0 характеризует лишь временную задержку сигнала на время /0).

Таким рбразом, все спектральные составляющие скла­ дываются в момент t = t0 в фазе (рис. 4.6, б) и образуют в этот момент наибольший выброс сигнала, т. е. СФ является

223

идеальным накопительным устройством для полезного сиг­ нала. Это обстоятельство с учетом сказанного о значитель­ ном подавлении помехи приводит к максимизации отноше­ ния пикового значения сигнала к среднему квадратическо­ му значению помехи (или отношения пиковой мощности

.сигнала к мощности помехи).

Рис. 4.6. К образованию максимального пикового значения сигна­ ла в СФ

Найдем это отношение. Так как пиковое значение сиг­ нала (4.2.16), известно, то достаточно определить мощность помехи. Дисперсия помехи (которая равна мощности на со­ противлении в 1 Ом)

О

= -4" [ ЛГ (о>) Кеог (®) d(d 2л J

О -

или с учетом (4.2.13)

о'

Вчастности, для белого шума, у которого энергетичес­ кий спектр N (f) = No, дисперсия (Тщ равна

224

а с учетом того, что согласно (4.2.12) амплитудно-частотные

и далее с помощью (4.2.16) получим отношение пиковой мощ­ ности сигнала к средней мощности шума на выходе СФ

Коэффициент 2 обусловлен тем, что сравнивается пико­ вое (максимальное) значение сигнала и эффективное значе­ ние шума. У синусоидального сигнала амплитуда в 1/2 раз превышает эффективное значение, что по мощности соответ­ ствует 2. Если же под пиковой мощностью понимать мак­ симальное значение мощности, усредненное по периоду СВЧ колебаний (см. § 1.4), то отношение этой мощности к мощно­ сти шума будет Ec/N0 О,5ро.

Отношение сигнал-шум на выходе СФ зависит только от энергии полезного'сигнала и спектральной плотности шума. Ни один другой фильтр, кроме согласованного, не может дать большее отношение сигнал-шум. Действительно, если имеется фильтр, дающий большее отношение сигнал-шум, чем согласованный, то, поставив его перед пороговым уст­ ройством, можно получить большую вероятность пра­ вильного обнаружения D при заданной вероятности лож­ ной тревоги F. Однако этого не может быть, так как наиболь­ шую вероятность D при заданной F дает именно оптималь­ ный приемник, в состав которого входит СФ, что и доказы­ вает исходное положение.

3. Коэффициент различимости. Остановимся на часто используемом В радиолокации понятии коэффициента раз­ личимости, показывающего, во сколько раз мощность оди­ ночного импульса сигнала на входе приемника должна быть больше мощности шумов, приведенных ко входу приемника, чтобы обеспечить заданные вероятности правильного об­ наружения и ложной тревоги или заданное отношение сиг­ нал-шум на выходе приемника в результате действия всей пачки импульсов. Таким образом,

225

где /’npmm = Рыт in — мощность порогового сигнала, т. е. минимальная пиковая мощность (усредненная по периоду высокочастотных колебаний, см. § 1.4) одиночного импульса пачки с амплитудой (7mraln на входе приемника (или в ли­ нейной его части), а средняя мощность шумов, приведенная ко входу приемника,

Д/Пр — шумовая ширина полосы пропускания; Тш — KmTQ

— эффективная входная шумовая температура прием­

лосе пропускания, т. е. в случае СФ для одиночного радиоим­ пульса, А/Пр « 1/ти (см. § 4.3), откуда

пульса пачки [см. замечание к формуле (4.2.22)].

4.3. СОГЛАСОВАННЫЕ ФИЛЬТРЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИГНАЛОВ

1. СФ для одиночных импульсов. Выше были рассмот­ рены частотная и импульсная характеристики СФ. С помо­ щью этих характеристик можно построить (синтезировать) СФ из известных элементов. Структурные схемы СФ, вклю­ чающие интеграторы, сумматоры, линии задержки (ЛЗ), могут несколько отличаться друг от друга. Наиболее уни­ версальным элементом для построения СФ следует считать ЛЗ с отводами.

На рис. 4.7, а изображена линия задержки с отводами, соответствующими задержке А/. К отводам подключаются усилители (или делители) с определенными коэффициентами передачи glf g2,...., gn (весовые коэффициенты, учитывающие также знак). Пусть на вход ЛЗ (Вх1) подается прямоуголь­ ный импульс иг (t) длительностью А/ и единичной амплиту­ дой. Тогда на выходе образуется импульс в виде ступенча­

той функции

п

Впределе при А/ -> 0 ступенчатая кривая сглаживается,

аимпульс их (0/А/ переходит в дельта-функцию 6 (/). По­ этому выходной сигнал и (/) представляет приближенно им­

226

пульсную характеристику данного фильтра g (/), дискрет­ ные значения которой равныglt git... Такой фильтр называет­ ся трансверсальным (от слова transversal-пересекающий). Один и тот же трансверсальный фильтр может быть исполь­ зован как для формирования полезного сигнала, так и в ка­ честве фильтра, согласованного с данным полезным сигна­ лом. Для этого достаточно изменить положение входа ЛЗ, т. е. весовые коэффициенты, характеризующие сигнал, должны быть расположены в обратном порядке.

Рис. 4.7. СФ в виде линии задержки (ЛЗ) 'с* отводами

На, рис. 4.7,6 показан сигнал на выходе фильтра при линейном ‘нарастании весовых коэффициентов gk от gx до gn. Если изменить положение входа с Вх1 на Вх2, то при воздействии такого же единичного импульса иг (/) на выходе образуется импульс, зеркальный по отношению к первому (рис. 4.7, в). Поэтому фильтр со стороны Вх2 является согла­ сованным по отношению к полезному сигналу, формируемо­ му со стороны Вх1. Заметим, что общая длительность фор­ мируемого сигнала То — nAt примерно равна длительности задержки линии Т3 = (п — 1) А/. Поэтому при синтезе СФ общая задержка используемой линии должна быть пример­ но равна длительности полезного сигнала, а коэффициенты gn, gn-i> •••» gi должны соответствовать форме заранее из­ вестного полезного сигнала.

В случае прямоугольного импульса все весовые коэф­ фициенты должны быть одинаковыми (g1 — g2 — ... = gn), а задержка линии примерно равна длительности импульса тп. Процесс формирования имйульса на выходе СФ иллюст­ рируется рис. 4.8, а. В идеальном случае (Д/-> 0) импульс имеет треугольную форму. Это можно получить путем вы­ числения автокорреляционной функции Rc (t—t0) (4 2.15), что иллюстрируется графически на рис. 4.8,6. Интеграл ра­ вен перекрывающейся площади двух импульсов. Он макси­

227

мален при совпадении и линейно спадает до нуля при сдвиге t — tQK обе стороны на время ти.

Здесь следует обратить внимание на то, что сдвигающиеся на k&t части сигнала вместе с шумами суммируются. Однако сдвиг меньше интервала корреляции, так что характер сум­ мирования частей шума существенно не отличается от сум­ мирования частей сигнала. Поэтому заметного выигрыша здесь получить нельзя. Существенно иначе обстоит дело в рассматриваемом ниже случае накопителя, когда суммиру­ ются части шума, отстоящие на период повторения.

Рис. 4.8. Форма сигнала на выходе СФ

До сих пор в качестве примера сигнала рассматривался видеоимпульс. Однако на входе радиоприемного устройства действует радиоимпульс и СФ целесообразно реализовать, например, на промежуточной частоте. Рассмотрим, как перейти от известного СФ для огибающей к СФ для радиоим­

где 5 (2л/) — спектр огибающей; /0 — несущая частота ра­ диоимпульсов, a ipo — начальная фаза колебаний.

Частотная характеристика СФ для радиоимпульсов

для огибающей (4.2.11) и принимая 0,5 kx = k0 и /j. — t0 (что

228

НО принципиально), получаем

/0 достаточно заменить / на f —/0.

Для построения радиочастотного СФ достаточно произ­ вести перенос соответствующих элементов видеочастотного фильтра (ЛЗ, усилители) в область несущей частоты f0. Форму импульса на выходе при воздействии полезного сиг­ нала легко найти подобно тому, как это сделано на рис. 4.8,а. Следует только иметь в виду, что для выполнения условия суммирования отдельных чщггей импульса в фазе следует брать Д/ tnlfQ, где т— целое число. Если огибающая вход­ ного импульса прямоугольная, то на выходе она оказывает­ ся треугольной с вдвое большей длительностью основания (рис. .4.8, в).

2. Квазиоптимальные фильтры для одиночных импуль­ сов. Как" правило, при реализации СФ для одиночных им­ пульсов простой формы (имеются в виду импульсы с немодулированной по фазе или частоте несущей) используются так называемые квазиоптимальные фильтры, реализуемые с помощью обычных усилителей (например, в тракте ПЧ), имеющих оптимальную полосу пропускания.

Рассмотрим для простоты случай простого резистивного усилителя с цепочкой RC, АЧХ которого

«■(/)=—===.

где Д/в = 1/2л7?С — полоса пропускания на уровне 0,707 (по видеочастоте); /<0 — коэффициент усиления при f =0.

Мощность шума на выходе такого усилителя

амплитуды максимальная амплитуда на выходе резистивно­ го усилителя при t = ти равна

229