Литература / М.И.Финкельштейн Основы радиолокации

Значения условных вероятностей правильного обнару­ жения D и ложной тревоги F задаются для разрешаемого объема пространства. Если в РЛС кругового обзрра имеется п разрешаемых объемов за период обзора, то в среднем за это время будет т ~ Fn «ложных отметок». Такие отметки воспринимаются оператором, следящим за индикатором кру­ гового обзора, как отметки цели, хотя отдельных шумовых выбросов на экране при этом может быть гораздо больше. Поэтому, задаваясь допустимым наличием т ложных отме­ ток за период обзора, имеем F = т/п, например, при т =1

ип — 10е требуемая вероятность ложной тревоги F — 10~6.

Взадачах радиолокации, когда наличие цели (условие Ну) встречается сравнительно редко и трудно даже судить

остоимости пропуска цели, более важную роль играют те случаи, когда Яхвыбрано неправильно, т. е. возникает лож­ ная тревога. Она особенно опасна, так как может, например, привести к значительному увеличению числа операций в ЭВМ, используемой в АС УВД, а также другим действиям, имеющим высокую стоимость. Поэтому в радиолокации за­ даются заметно меньшей вероятностью ложной тревоги по сравнению с вероятностью пропуска цели F < 1 — D и тре­ буют согласно (4.19) максимизации вероятности правиль­ ного обнаружения D, которая должна быть достаточно близ­ кой к единице (например, по одной из рекомендаций ICAO для РЛС УВД D= 0,9, F = 10-’). Такой критерий взят из математической статистики, где он предложен в 30-х гг. Нейманом и Пирсоном.

4. Отношение правдоподобия. Рассмотрим условия вы­

полнения весового критерия (4.1.19), для чего найдем веро­ ятности правильного обнаружения и ложной тревоги D и F. Воспользуемся теоремой Котельникова. При этом следует сделать предположение об ограниченности спектра прини­ маемого сигнала х (/) и помехи п (/)в полосе частот 0^/^

/maxТогда функция x\t) однозначно отображается сво­ ими дискретными значениями Ху, хт, отсчитанными через временные интервалы А/ = 1/2/тах. Вся совокупность отсчетов называется выборкой. Если функцию х (/) огра­ ничить интервалом времени То, то для ее отображения тре­ буется tn — Т/At = отсчетов.

Каждая реализация случайной функции х (/) при нали­ чии как помех, так и полезного сигнала определяется мно­ гомерной плотностью распределения вероятностей к’сп (хъ хг.......х,?1), а если полезного сигнала нет, то плотностью рас­

210

Х2, х2 4- dx2 и т. д. равна Wca (xlt х2, ..., хт) dx{ dx2...

... dxm (аналогичная зависимость справедлива для плотности распределения помехи шп). Так как значения хъ х2,... опре­ деляют функцию х (Z) однозначно, то указанная вероятность определяет вероятность реализации функции х (Z).

Для принятия решения о наличии или отсутствии цели следует разбить все множество выборок на области Хг на­ личия сигнала (решение Лх) и Хо (решение Ло) отсутствия сигнала. Условную вероятность правильного обнаружения найдем как вероятность попадания выборки хъ х2,... в область Хг при условии наличия сигнала (плотность распределения ^сп), а условную вероятность ложной тревоги — как веро­ ятность попадания этой выборки в область Хг при условии отсутствия сигнала (плотность распределения шп). Таким об­ разом,

D = f f ... f 0>cn *(i. 2*. •• • > xm) dxt dx2. ..dxm,

Xl

F = J f -••$wn(x1,x2,...,xm)dxtdx2...dxm. (4.1.20)

Интегрирование производится в области Хг по всем пере­ менным. Граница этой области выбирается на основании ве­ сового критерия обнаружения (4.1.19), так что

D — /о F = f J* ... f [шсп(хь х2,..., хт) — Zo (Xi, х2,..., xm)J X

Xi

X dxtdx2... dxm = *j J.J wa(Xj, x2,..., xm) [Z (x^, x2,..., xm)—

называется отношением правдоподобия (так как более прав­ доподобно то из решений и Ло, которому соответствует большая плотность вероятности получения данной реали­ зации х (Z)).

Для значений хъ х2, ..., хт, для которых отношение прав­ доподобия Z (хь х2, ..., хт) > Zo, все подынтегральное вы­ ражение положительно. Значения же xlt х2, ..., хт, для которых Z < Zo, уменьшают весь интеграл. Поэтому макси­ мизация разности (D — Zo F) требует так выбирать границы

211

области Xlf чтобы выполнялось неравенство / > /0. Отсюда вытекает правило принятия решения:

решение Aj (сигнал есть), если / (хь х2, .... хт) > /<>: (4.1.23)

решение До (сигнала нет), если I (xlt х2, ..., Хщ)^^.

Весовой множитель /0 (4.1.18), не зависящий от принима­ емого сигнала, можно рассматривать как некоторый порог. Для принятия решения о наличии или отсутствии сигнала на­ до вычислить отношение правдоподобия I [х (/)! принятого сигнала х (/) и сравнить его с порогом /0.

5. Отношение правдоподобия для сигнала с полностью известными параметрами. Такие параметры как амплитуда, начальная фаза, запаздывание, доплеровский сдвиг частоты и другие, в общем случае изменяются от сигнала к сигналу по случайному закону. Чем больше случайных параметров, тем сложнее оптимальный приемник. Рассмотрим случай, когда все параметры сигнала известными© сам факт наличия сигнала является случайным событием? Эта ситуация не ре­ альна, но позволяет выяснить потенциальные возможности обнаружения.

В качестве помехи п (/) примем стационарный случай­ ней процесс с гауссовским законом распределения и нуле­ вым средним значением. При этом /г-й отсчет характеризует­ ся законом распределения

ствии сигнала, когда s(/)==0, согласно (4.1.1) х(/)=п(/), так что после замены в (4.1.24) п на х

получаем после подстановки в (4.1.24)

(xk~sk)2

®спЫ = -“—ехр 2а2 (4.1.26)

1/2лап

Для определения совместных многомерных функций рас­ пределения, требуемых при вычислении отношения правдо­ подобия, необходимо знать статистическую связь процессов

212

в точках отсчетов (разделенных интервалами kbJ). Статисти­

где N (f) — энергетический спектр (спектральная плотность)

Для т = kht = k I 2/max (где k = 1,2,...) автокорреля­ ционная функция Z? (kht) = 0. При гауссовском законе рас­ пределения отсчетов Х!,х2,..., хт, разделенных интервалом k^t (по теореме Котельникова), отсутствие корреляции оз­ начает их взаимную статистическую независимость. Поэтому совместная многомерная функция распределения равна про­ изведению функций распределения каждой из этих величин:

Сч, Х2,..., Хт) = Шп(Хх) шп (х2).. .шп(хт) = п йУп М' fe=l

(4.1.31)

Подставляя (4.1.30) и (4.1.31) в (4.1.22) с учетом (4.1.25) и (4.1.26), получаем отношение правдоподобия

/(Xi, х2,..., хт)

213

является функцией взаимной корреляции принимаемого сигнала х (/) и ожидаемого полезного сигнала s (/) (точное частнор значение функции взаимной корреляции при вре­ менном сдвиге т ~ 0).

Для принятия решения, как было показано выше, надо сравнить отношение правдоподобия I с порогом 10. Решение о наличии сигнала принимается при I >> 10. Условие Z>/0 равносильно условию In I > lnZ0, т. е. с учетом (4.1.34)

Итак, окончательно:

решение At (сигнал есть), если г > z0;

решение До (сигнала нет), если z <Z z0, где порог

Оптимальный приемник должен состоять из коррелятора (взаимно-корреляционного устройства), вычисляющего ин­ теграл z, и порогового устройства (ограничитель по миниму­

му), в котором г сравнивается с порогом z0 (рис. 4.1, а). Коррелятор состоит из генератора опорного сигнала s (/),

который воспроизводит копию полезного сигнала, перемно-

214

жителя, интегратора. Сигнал о наличии цели с выхода поро­ гового устройства (ПУ) поступает к потребителю радиоло­ кационной информации, например в ЭВМ. В случае визу­ альной индикации пороговым устройством может быть сама ЭЛТ, воспроизводящая только те сигналы, которые превыша­ ют напряжение отсечки.

Выше запаздывание отраженного сигнала не учитывалось (он располагался в пределах своей длительности в интерва­

Коррелятор

а)

Рис. 4.1. Структурные схемы оптимального корреляционного прием­ ника для точно известного сигнала (а) и для сигнала с неизвест­ ным временем запаздывания (б)

в (4.1.35) должно быть произведено в пределах от t3 до + То> а генератор сигнала должен включаться в момент

t~t3.

Следует отметить, что взаимно-корреляционное устрой­ ство является составной частью устройства для оптималь­ ного обнаружения и в том случае, когда ряд параметров по­ лезного сигнала является случайным, а также при измере­ нии некоторых параметров сигнала для определения коорди­ нат цели. Пусть, например, запаздывание отраженного сиг­ нала, как это всегда имеет место, неизвестно. Тогда опти­ мальный приемник должен состоять из множества каналов (рис. 4.1, б), каждый из которых соответствует определен­ ному запаздыванию (дальности), т. е. генераторы опорного сигнала вырабатывают функции s (/ — t3k), рассчитанные на все возможные значения времени запаздывания. На вы­ ходе каналов образуются значения z (t3h), после чего про­ изводится сравнение с порогом. Однако, как будет видно из дальнейшего, такая многоканальность не всегда обязатель­ на.

6. Корреляционный приемник для сигнала с неизвест­ ной начальной фазой. Говоря об оптимальном приемнике

215

для точно известного сигнала, предполагалось, что извест­ на фаза сигнала s (/). Фазу сигнала можно представить в ви­ де функции фо (0 — (2л/Х) D (0» определяющей изме­ нение фазы вследствие движения цели или РЛС (D (/) — закон изменения дальности до цели), и начальной фазы ф0. Если начальная фаза неизвестна, то опорному сигналу надо задавать всевозможные начальные фазы и лишь для одной из них корреляционная обработка окажется действительно оптимальной. Такая многократная процедура очень'сложна. Однако без нее можно обойтись, если воспользоваться орто­ гональными составляющими опорного сигнала

s (/) = S (/) cos [й)0/ + Фо (0 + Ф01 — si (0 cos Фо ~

— s2 (Z)sin фо»

рые с точностью до начальной фазы совпадают с принимае­

оо

т.«е. функция взаимной корреляции принимаемого сигнала

х(/) и всего ожидаемого сигнала s (t) равна

тв

г — J х (t) s (0 dt — у/cos фо—у2 sin ф0 = *о

= У (У1 cos Фо/У—у2 sin Фо/К)\

где У = Уу1 +у%.

Так как величины yJY и y2/Y по модулю не превышают единицу, а сумма их квадратов равна единице, то одна из них может быть принята за синус, а другая — за косинус некоторого угла 0, откуда z = Y cos (0 4- фо)-

Таким образом, при случайной начальной фазе совокуп­ ность операций, выполняемых в оптимальном приемнике над входным сигналом x(t), позволяет вычислить огиба­ ющую Y корреляционного интеграла (рис. 4.2).

Взаимно-корреляционное уструйство часто реализуется не на радиочастоте, а на видеочастоте. Для определения

216

схемы обработки представим формулу (4.1.37) в виде

^COS^ot+^t)]

К /ГУ

Рис. 4.2. Структурная схема оп­ тимального корреляционного приемника при неизвестной на­ чальной фазе

?I7

Далее следует учесть -разложения cos2 (o0t, sin2 toot и sin (dot cos (ibot на гармонические составляющие и то, что ин­ тегралами, содержащими такие члены, за время То > 2n/coo можно пренебречь. Тогда

Уг

Из полученных выражений следует, что схема оптималь­ ного приемника должна состоять из четырех каналов, в

Рис, 4.3. Структурная схема оптимального корреляционного прием­ ника с обработкой по видеочастоте

которых перемножаются соответствующие ортогональные составляющие и производится интегрирование за время наб­ людения цели То. После этого осуществляется попарное алгебраическое сложение, а затем геометрическое сложение как ортогональных составляющих (У = ~]/у\ + у2).

Для формирования ортогональных составляющих Хг (0 и Х2 (/) используются фазовые детекторы (ФД). Фазовый де­ тектор, являясь линейным устройством, перемножает два сигнала с последующим их усреднением. Выходной сигнал

ми. Таким образом, при перемножении колебаний cos о0( и х (/) [см. (4.1.41)1 выделяется составляющая Хг (/), а при перемножении sin соо t и х (t) — составляющая Х2 (t) [см.

218

(4.1.42)1. Сказанное и определяет структуру схемы опти* мального корреляционного приемника (данный вычисли­ тельный процесс именуют корреляционной обработкой) на видеочастоте (рис. 4.3) для одного канала дальности.

4.2.СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР (ОБЩИЕ СВОЙСТВА)

1.Импульсная и частотная характеристики. При тех­ нической реализации оптимального приемника может быть применен не только коррелятор (см. рис. 4.1). Другой спо­ соб вычисления взаимно-корреляционной функции z осно­ ван на использовании согласованного фильтра (СФ). В ка­ честве СФ примем такой, который обеспечивает равенство в определенный момент времени с точностью до постоянного множителя выходной реакции этого фильтра и функции взаимной корреляции между принимаемым сигналом и точ­ но известным сигналом [интеграл z (4.1.35)1. Реакция ли­

нейного фильтра в момент t равна

требуется, как видно из (4.2.2) и (4.1.35), чтобы

Это проверяется непосредственной подстановкой (4.2.4) в интеграл (4.2.2.). Что касается пределов интегрирования, то нижний делается равным 0, так как сигнал s (/) по пред­

219