Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

Если обратиться сначала к различению двух сигналов, нетрудно понять, что противоположная пара, минимизи­ рующая Рош в классе детерминированных сигналов, в за­ дачах, где начальные фазы сигналов случайны, неприем­ лема. Действительно, единственным признаком, по кото­ рому различаются противоположные сигналы, является знак, т. е. присутствие или отсутствие в начальной фазе слагаемого л. Однако, когда перед поступлением на различитель каждый из сигналов приобретает случайный

и в различителе от неинформативной величины <р приходит­ ся избавляться (в схеме рис. 3.17 с помощью детектирова­ ния огибающей). Таким образом, можно прийти к выводу, что в классе М >2 сигналов со случайными фазами симплексные ансамбли оптимальными свойствами не об­ ладают. Оптимальными же оказываются именно ансамбли сигналов, ортогональных в усиленном Смысле, что до­ вольно легко уяснить из рис. 3.17: каждый из таких сигналов вызывает отклик на выходе только одного из фильтров схемы, и поэтому перепутывание Z-го сигнала с к-м произойдет лишь в том случае, когда огибающая шума на выходе к-го СФ будет иметь значение, превос­

z-го, но и других СФ, например к-го, в результате чего выброс огибающей на выходе к-го СФ, больший значения

проинтегрировать совместную условную ПВ Zo, Zj при гипотезе Яо W(Z0, Zl\H0) по области Zl>Z0. Для

W(Z0, Zt | Яо) = IV(Zo | Яо) W( Zl | Яо). Одномерные же ПВ Zo и Zx известны: при истинности Яо Zo как огибающая суммы сигнала с шумом имеет обобщенную рэлеевскую ПВ; Zj как огибающая только шума является рэлеевской случайной величиной. Перемножив (3.16) и (3.17), после

Poi=Pio Для полной вероятности ошибки (2.2) различения двух равновероятных ортогональных в усиленном смысле сигналов со случайными фазами получим

70

которой, как правило, и пользуются для оценки вероятнос­ ти ошибки, если число равновероятных ортогональных в усиленном смысле сигналов М~^2. Разумеется, и теперь правая часть (3.54) при М=2 совпадает с точным значением Рош, получаемым из (3.53).

§3.8. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ НЕБЕЛОГО ШУМА

Попытаемся выяснить, какие изменения необходимо внести в правила и структуры оптимальных приемников, если вхо­ дящий в состав наблюдаемого колебания у(/) аддитивный нормальный шум x(t) не является белым. «Прямой» способ решения этого вопроса может состоять в построении ФП на основе общего выражения для функционала ПВ (1.8) по­ добно тому, как это было проделано в § 2.4 для модели белого шума. Можно, однако, получить необходимые резу­ льтаты и менее формальным путем. Допустим, что шум x(t) стационарен и его спектр отличен от нуля всюду на оси f: K(f)>0, |/]<со. Тогда, пропустив процесс x(t) через линейный фильтр с постоянными параметрами и

шума на выходе фильтра окажется равным ^(/)|йв(/)|: = 1, |/|< со. Таким образом, если через названный выбелива­ ющий фильтр пройдет процесс y(t), являющийся суммой небелого шума x(t) и некоторого (возможно нулевого) сигнала то на выходе фильтра будет наблюдаться аддитивная смесь (сумма) yB(t)=n(l)+st,(t) белого шума

/\/^(7)]exp[7argAB(/)], где i,(/)—комплексный спектр сиг­ нала 5f(z); й„(/)— коэффициент передачи выбеливающего фильтра. Отметим, что на фазочастотную характеристику targ^»(/)] само требование выбеливания никаких ограниче­ ний не накладывает (arg/;s(/) на спектр выходного шума

71

подать на оптимальный приемник для небелого шума (пунктир на рис. 3.18), что эквивалентно подаче на послед­ ний процесса у(Л со входа выбеливающего фильтра, то информация из y(t), согласно предположению, будет извле­ чена лучше, нежели верхней схемой. Но это означает, что блок, названный на рис. 3.18 оптимальным приемником для белого шума, таковым не является, ибо, как оказыва­ ется, предпочтительных показателей приема сигнала в бе­ лом шуме можно добиться, если сперва «окрасить» белый шум в ув(/) с помощью обратного фильтра, а затем воспользоваться оптимальным приемником для небелого шума. Следовательно, допущение неоптимальности верхней схемы рис. 3.18 ведет к противоречию и прием на основе выбеливания оптимален.

Нетрудно понять, что для расчета, например, показа­ телей обнаружения сигналов в небелом шуме можно пользоваться соответствующими формулами, полученными ранее для модели белого шума, подставляя в них параметр обнаружения, вычисленный на выходе выбеливающего фильтра: q2 = 2EJNOa, где £в, N0J2— энергия сигнала и спектр шума после выбеливания. Так как NaJ2=\ и, согласно равенству Парсеваля, £в= f|хв(/)|\1/, то при обнаружении в небелом шуме q2 = f [js(/)p/£(/)]d/. По­ добным же образом для определения показателей разли­ чения сигналов в небелом шуме следует «пересчитать» их энергии и коэффициенты корреляции на выход выбели­ вающего фильтра, после чего задача будет сведена к ранее решенной.

Прокомментируем допущения, принятые ранее за основу. Во-первых, предположение об отличии от нуля

от него привел бы к так называемому вырожденному случаю, лишенному практической содержательности. Дей­ ствительно, если, например, в задаче обнаружения считать, что на оси частот есть участки, где шум отсутствует, а компоненты сигнала не равны нулю, то это будет означать не что иное, как возможность абсолютно безошибочных решений (рлт —Р„с = 0), так как наблюдатель в этом случае может воспользоваться полосовым фильтром, пропускающим лишь спектральные компоненты сигнала, на которых шумовой спектр равен нулю (отношение сигнал/шум после такого фильтра окажется бесконечным). Что касается тех участков оси частот, где сигнальные компоненты отсутствую!,

73

то на них, как отмечалось в § 1.4, спектр шума может полагаться произвольным: оптимальная приемная система все равно отбросит эти «фиктивные» спектральные составляющие шума. Во-вторых, идею «выбеливания» нетрудно в принципе распространить и на нестационарный шум, при этом в роли выбеливающего будет выступать некоторый фильтр с переменными параметрами.

9 С какой вероятностью будет пропущен детерминированный

•сигнал, если значения параметра ? и нормированного порога Л одинаковы?

Согласно (3.1), детерминированный сигнал s(t) считается

присутствующим в y(t), если _)■(/) имеет достаточное сходство (в смысле, определяемом корреляцией z) с s(z). С учетом (3.12) дайте аналогичную трактовку правилу (3.14) обнару­ жения сигнала со случайной фазой.

Опираясь на критерий Неймана — Пирсона, попробуйте дать физическое объяснение отсутствию влияния' априорной ПВ 1CO(/1) на структуру и значение порога обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой.

Пользуясь характеристиками обнаружения на рис. 3.6, оце­ ните потери в энергии порогового сигнала из-за незнания

начальной фазы, а также амплитуды и начальной фазы

от значения огибающей на входе?

Каким хорошо известным эффектом, присущим амплитуд­ ному детектированию слабых сигналов, можно объяснить низкую эффективность обнаружения некогерентных пакетов

при <70 « 1?

Во сколько раз (на сколько децибел) можно уменьшить энергию каждого из двух детерминированных сигналов равной энергии, имеющих коэффициент корреляции р=1/2, если заменить их противоположными? Каков будет ответ, если р=1/3, р — 1 /5, р= —1/3?

Каков энергетический проигрыш при различении М ортого­ нальных детерминированных сигналов по сравнению с раз­ личением М симплексных сигналов, если М=2, 3, 4, 5, 10, 100?

Чем отличаются ортогональные сигналы от ортогональных в усиленном смысле?

Опираясь на факт асимптотического сближения аддитивных границ (3.48) и (3.54) с истинными значениями вероятности ошибки различения, показать, что при Af>2 энергетические потери за счет незнания начальных фаз сигналов асимпто­ тически (при ?-»оо) пренебрежимо малы.

74

ГЛАВА 4

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 4.1. СОДЕРЖАНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

Как отмечалось в гл. 1, сигнал, поступающий на приемную сторону информационной РТС, несет существенную для получателя (пользователя, абонента, потребителя РТС) информацию, содержащуюся в значениях тех или иных параметров: амплитуды, частоты, фазы, времени запазды­ вания, углов прихода и поворота плоскости поляризации радиоволн и др. Так, в обычном телевизионном вещании адресованное абоненту сообщение заключено в значениях амплитуды (канал изображения) и частоты (канал звуко­ вого сопровождения) сигнала. В радиолокации и радио­ навигации сведения о координатах и скоростях объектов содержатся во времени запаздывания, фазе, частоте и на­ правлении прихода колебаний. В системах цифровой связи и цифрового вещания параметром, несущим полезную информацию, является номер переданного сигнала и т. и.

Очевидно, пользователю для извлечения из полученного сигнала нужных сведений следует выяснить (определить, измерить) значения параметров сигнала, несущих требу­ емую информацию. Эти значения параметров не обяза­ тельно точно воспроизведут истинные, так как в реальных условиях полезный сигнал поступает на приемную сторону только в смеси с помехами. Кроме того, на измерения может существенно влиять наличие у сигнала не только полезных (несущих необходимую информацию) параметров, но и параметров, не известных потребителю и не содержа­ щих интересных для него сведений. Например, в радиолока­ ционных дальномерах сантиметрового диапазона информа­ ция о дальности от РЛС до цели заключена во времени запаздывания отраженного радиоимпульса, тогда как амп­ литуда и фаза последнего данных о дальности практически не содержат, случайно меняясь от зондирования к зондиро­ ванию вследствие фединга. Полезные параметры сигнала, содержащие нужную абоненту информацию, будем назы­ вать информационными, остальные неизвестные парамет­ ры — мешающими (^информационными, несущественными, паразитными, нежелательными). Перечисленные термины

75

I

широко используются в соответствующей литературе. Заметим, что такая классификация параметров для каждого конкретного случая своя. Так, в стандартном телеви­ зионном канале изображения именно амплитуда служит информационным параметром, время запаздывания же сигнала никакой информации для пользователя не несет; в интерферометрах радиопеленгаторов полезными парамет­ рами оказываются фазы колебаний, принятых разнесен­ ными антеннами, и т. д.

Формализованной моделью измерения параметров сигнала является следующая. Пусть на интервале времени [О, Г] присутствует колебание y(t), образованное как продукт описываемого детерминированным опе­

Полезный сигнал s(t; 'k(t); Э(?)) содержит г информационных X2(r), •••> и ,и мешающих параметров Э^), Э2(/),

..., 9m(t), объединенных соответственно в г- и иьмерные векторы k(t)=(X.1(t), X2(t), ..., Xr(t))T и Э(?)=(Э1(г), 92(t),

..., 9m(t))T. По результатам анализа y(t) необходимо вынести решение о том, какие значения имеют полезные параметры сигнала s(t; X(t); 9(/)) в текущий момент времени t. Если все параметры >.,(/) постоянны на интервале наблюдения (k(/) = const = Х, /еГО. Т]), то описанную процедуру назы­ вают оценкой параметров сигнала. В случае же, когда зависимостью Х(г) пренебречь нельзя и требуется отсле­ живание мгновенных значений меняющихся информаци­ онных параметров, такую процедуру называют фильтра­ цией параметров сигналов (фильтрацией сообщений).

Из-за вероятностного характера условий, сопутству­ ющих измерению, ошибки, т. е. отклонения измеренных значений параметров от истинных, содержат случайную составляющую, не поддающуюся компенсации с помощью калибровок, эталонных замеров и пр. Поэтому объект, осуществляющий измерение (измеритель), должен придер­ живаться такой стратегии, при которой негативные послед­ ствия, обусловленные случайной природой ошибок, были бы по возможности минимизированы. Таким образом, необходимо сформулировать оптимальные в некотором смысле правила измерения параметров сигналов, ознаком­ ление с которыми и составляет содержание настоящего раздела. Начнем с обсуждения задач оценки параметров, неизменных за время наблюдений.

76

§ 4.2. БАЙЕСОВСКИЕ ОЦЕНКИ СЛУЧАЙНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

Предположим, что сигнал не содержит никаких мешающих параметров, т. е. что вес его неизвестные параметры являются информационными и, следовательно, подлежат измерению. При этом сигнал оказывается вполне детерми­ нированной функцией аргумента t и измеряемых пара­ метров X(z) и в его записи s(t', Х(/)) символ Э(?) не участвует.

Пусть постоянный в течение времени наблюдения информационный параметр является векторной случайной величиной Х = (Х15 Х2, •••> Ъ)Т> априорная r-мерная ПВ которой И^Х) известна. Напомним, что эта ПВ не связана с наблюдаемой реализацией y(t) и показывает лишь, с какой частотой следует ожидать появления сигнала s(t; X) с теми или иными значениями параметра X.

Как указывалось, задача измерителя состоит в том, чтобы по наблюдению у(?) измерить (оценить) векторный параметр X. Отметим, что термин «оценка» в литературе используется двояко: им называют и саму процедуру измерения, и ее результат X, т. е. измеренное значение X, выдаваемое в качестве решения. Уточним, как следует формировать оценку X, чтобы последствия ее расхождения с истинным значением X были минимальны. При этом ограничимся изучением лишь нерандомизированныхДдетерминированных) правил оценки, согласно которым X одно­ значно определяется видом наблюдаемого колебания y(t):

оптимального в некотором смысле правила оценки X со­ стоит в отыскании подходящего оператора Г[].

Чтобы проследить общность задачи оценки параметра сигнала с ранее изученными, допустим, что X принимает

дискретного параметра X есть просто различение М сиг­ налов, и потому для отыскания оптимального правила

77

и под P(Xj) понимать априорную вероятность выпадения значения X, параметра X, т. е. появления сигнала а1(?) = 5(/; X,), под P(X = XJXi)—условную вероятность выдачи в ка­ честве оценки X значения Хк при условии, что в сигнале, содержащемся в у(г), параметр X = Xi5 а под П;4 — плату (штраф, риск, ущерб) за несовпадение измеренного значения Х = Хк с истинным Х;, то оператор в (4.2), минимизирующий сумму (4.3), обеспечит получение оценок, оптимальных по минимуму среднего риска П. Такие оценки называют

байесовскими.

Перейдем к оценке непрерывного случайного пара­ метра X, принимающего значения из континуального множества. При этом, как легко понять, речь вновь идет о различении сигналов, с той лишь разницей, что последние образуют не конечное множество, а континуум. Действи­ тельно, измерить параметр X — значит по-прежнему ука­ зать, какой именно из возможных сигналов s(z; X),

и к этому случаю, осуществив предельный переход от дискретных переменных к непрерывным и трактуя сумму (4.3) как интегральную. Для этого введем функцию потерь П(Х, X), показывающую, какой платой (штрафом, риском, ущербом) оборачивается несовпадение оценки X с истинным значением параметра X. Пусть также FF(X[X)—условная r-мерная ПВ оценки X при условии, что истинным является значение оцениваемого параметра, равное X. Тогда при

Очевидно, теперь оптимальной (байесовской) оценкой сле­ дует считать ту, которая минимизирует средний риск (4.4).

Попытаемся выяснить, что собой представляют байе­ совские оценки параметров детерминированных сигналов. При этом не нужно отдельно рассматривать случаи непрерывных и дискретных параметров, поскольку для

78

Подстановка этих выражений в равенство (4.4) с учетом фильтрующего свойства 5-функции преобразует его в вы­

поскольку соотношение (4.2) связывает оценку к с видом наблюдаемого колебания у(/) и, следовательно, условная ПВ FFz(k|k) = FK(k|F[у (/)]) = FK(k|y(f)). Величина П[у(/)] является условным математическим ожиданием функции потерь П(к, к), вычисленным для фиксированной реализа­ ции у (/) усреднением по всем возможным значениям случайного параметра к; как и дискретный аналог из § 2.2, ее называют условным средним риском. Как видно, оценка, для которой условный средний риск минимален для любой заданной реализации >’(/), минимизирует и без­ условный средний риск (4.5). Поэтому байесовские оценки можно отыскивать из условия минимума выражения (4.6).

Предварим дальнейшие рассуждения следующим важ­ ным определением. Входящую в выражение (4.6) условную r-мерную ПВ И7(к | у (г)), характеризующую частоту выпа­ дения тех или иных значений к для заданной реализации (4.1), называют апостериорной (послеопытной), чем подчер­ кивается тот факт, что вероятностные свойства к описы­ ваются ею с учетом всех сведений о к, имеющихся в у (г). Отличие апостериорной ПВ от априорной характеризует тот прирост информации о к, который обусловлен наблю­ дением >’(/)• В измерительных системах, работающих при заметном превышении энергией сигнала интенсивности помех, кривая апостериорной ПВ всегда значительно острее кривой априорной ПВ. Пусть, например, импульсом вида, показанного на рис. 4.1, а, ведется радиолокационное зонди­ рование цели для определения дальности до нее D посред­ ством измерения времени запаздывания отраженного от цели сигнала т = 2£)/с (с — скорость света). Априори извест­ но, что дальность D может с равной вероятностью принимать любое значение из интервала [Z>,, Z),]. Тогда априорная ПВ запаздывания (рис. 4.1,6)

79