Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

последний сомножитель есть дисперсия квадрата гаус­ совской случайной величины с нулевым средним. Из теории вероятностей известно, что для нормальных

в энергетическом приемнике убывает с- ростом числа

§3.6. СТРУКТУРЫ И ПОКАЗАТЕЛИ РАЗЛИЧИТЕЛЕН ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Предшествующий материал относился только к обна­ ружению, представляющему собой частный случай раз­ личения двух сигналов, один из которых равен нулю. В настоящем и следующем параграфах будет рассмот­ рено различение ненулевых сигналов одинаковой энер­ гии. При этом за основу будет принято правило МП (2.10), оптимальное в том случае, когда критерием качества служит сумма условных вероятностей ошибок Рошусл (2-3), либо полная вероятность ошибки Рош при равных априорных вероятностях всех сигналов р^Х/М,

допущения упростят рассмотрение и придадут ему мак­ симальную физическую наглядность, обобщения же об­ суждаемых правил и структур на случаи неравных энергий и байесовских критериев с произвольными Пй, очевидны и у читателя, постигшего суть вопроса, затруднений не вызовут. Начнем с различения двух детерминированных сигналов.

60

Различение двух детерминированных сигналов. Согласно (2.10), (2.17), действующий по правилу МП различитель двух детерминированных сигналов s0(i) и $,(/) равной энергии Ео = £\ = Е должен принимать решение о присут­ ствии в колебании y(t) сигнала, имеющего с у(г) большую корреляцию:

два детерминированных сигнала, достаточно вычислить единственную корреляцию z с разностным сигналом s(t), причем какое из решений будет вынесено — зависит только от знака z. Структура, реализующая правило (3.39) и ис­ пользующая коррелятор, показана на рис. 3.14. Как всегда, коррелятор можно заменить фильтром, который должен быть согласованным с разностным сигналом s(t).

Рассмотрим геометрическое толкование процедуры ра­ зличения, проясняющее попутно вопросы о вероятностях ошибок и о том, как лучше выбрать сами различаемые сигналы. Будем интерпретировать s0(t) и sl(t) как векторы

в любом пространстве через два вектора с общим началом всегда проходит плоскость, векторы s0(P) и sl(t) можно считать расположенными на плоскости Р (рис. 3.15). До­ пустим, что к присутствующему на входе различителя сигналу s0(t) добавилась помеха и(/), которую можно также интерпретировать как вектор, но уже не обязательно

Рис. .3.14

61

Рис. 3.15

от y(t) меньшее евклидово расстояние dyi - [y(z) — s((z)]2 dt

(cm. § 2.4). Понятно, что вектор y(z) ближе к тому из векторов 50(z), ^(О, к которому ближе егопроекция y'(z) на плоскость Р. Таким образом, если через середину

получится следующая модель принятия решения: считается, что в y(z) присутствует тот сигнал, который лежит в той же полуплоскости, что и проекция y(t) на Р.

Отсюда уже нетрудно прийти к выражениям для вероятностей перепутывания сигналов. Действительно, как видно из рис. 3.15, сигнал s0(z) будет ошибочно принят за сигнал st(z) тогда и только тогда, когда проекция шумового вектора «(z) на направление s(z) окажется

изведение (корреляция) n(z) и s(z), то для вероятности перепутывания s0(f) с Sj(z) имеем

со

p0l = P(Hl\H0)=P^ZJd0l>^ = J W(zm)dzm.

^о./2

Воспользовавшись’нормальностью гш как линейного пре­

62

длины разностного вектора s(t), т. е. с увеличением евкли­

— коэффициент корреляции сигналов s0(t) и s^t). Теперь выражение (3.40) можно представить в более традиционном виде:

р01=1-Ф

где q = -J2EINo — уже известный параметр обнаружения, равный отношению сигнал/шум на выходе фильтра, согла­

вопрос о наилучшей в смысле минимума Рош паре сигналов фиксированной энергии Е. Действительно, ко­ эффициент корреляции (3.41) как частное от деления скалярного произведения s0(t) и зДД на произведение длин есть косинус угла между векторами s0(t) и зД/) и, следовательно, минимален (р= —1), когда эти векторы противоположны. Таким образом, вероятность ошибки

63

где требуется различение двух детерминированных сигналов равной энергии. Тем не менее на практике по разным причинам нередко используют и неоптимальные, например

Сравнивая выражение (3.44) с (3.43), нетрудно видеть, что применение ортогональных сигналов вместо противо­ положных требует для сохранения значения Раш в ч/2 раз большего значения q, т. е. двукратного увеличения энергии сигналов Е. Поэтому в классе детерминированных сигналов ортогональная пара имеет энергетические потери по отно­ шению к противоположной £дЕ = 3 дБ.

Легко видеть, что противоположную пару образуют

стоты f = kfT (к — натуральное число), сдвинутые по фазе на угол +п/2; любые два сигнала, не перекрывающиеся по времени или по спектру; разнообразные фазоманипу-

64

где неравенство следует из неотрицательности квадрата под интегралом. Кроме того, в сумме слева М слагаемых при i=k равны единице, а остальные-Л/(Л/—1) не больше

Рмакс» где Рмакс = тах pit. Поэтому М + М(М-1)рмакс^0

i/k

ИРмакс^-1/^-!)-

Конфигурацию из М векторов, в которой косинус угла между любой парой векторов равен — 1/(Л7—1), называют правильным симплексом. Если эти векторы взять в качестве М сигналов, то полученный детерминированный ансамбль (симплексный код) при равновероятности всех

.s,(z) обеспечит минимум полной вероятности ошибки Рош (2.2), что и решает вопрос об оптимальном выборе М сигналов. Примерами правильных симплексов служат при М=2 два противоположных вектора; при Л/=3— три

концы которых являются вершинами правильного тетра­ эдра, и т. д. Попятно, что при Л/» 1 выполняется соотношение — 1/(Л7—1)~0, и поэтому при большом числе различаемых сигналов ортогональный ансамбль, в котором

Последовательность вывода точного выражения для вероятности ошибки различения М сигналов с произволь­ ными p,t такова [9]. ПВ системы случайных величин 20, zt, ..., zM~i есть Л/-мерный нормальный закон, для

же момент ьй и k-й корреляций равен N0Epik/2. После того как M-мерная ПВ найдена, ее Л/-кратнып интеграл по области i—Q, 1, ..., М— 1, позволяет получить вероятность правильного решения Р(Я(|Я() при условии истинности Я(. Сумма таких вероятностей, деленная на Л/ (с учетом равновероятности сигналов), будет полной вероятностью правильного решения Рпр, связанной с Рош (2.2) очевидным равенством Рош=1 — Рпр.

Получаемый таким образом Л/-кратный интеграл в ря­ де важных случаев удается свести к однократному. Так, для любых равнокоррелированных (равноудаленных) сигна­ лов (pik = p, *ik)

СО

— со

66

s,(r, (p) = Re {S,(z)exp [/(2n/oz + (p)]}, то применению правила

налов с фиксированной фазой (р по всем ее возможным значениям с учетом априорной ПВ lT0((p). При равномер­ ной ПВ фазы И'о (ср) = 1/(2тт), |(р|^тг, такое усреденение уже проводилось в § 3.2 — там усреднялось ОП, отличающееся от ФП постоянным относительно г* и <р сомножителем.

О

— модуль корреляции комплексных огибающих принятого колебания y(t) и z'-го сигнала. Монотонность функции /0( ) на положительной полуоси позволяет перейти к достаточ­

Таким образом, оптимальный различитель М сигналов равной энергии со случайными начальными фазами должен вычислить все М величин (3.49) и, если максимальной из них является Zk, принять решите о присутствии в y(t) к-го сигнала. Это означает, что содержащимся в наблюда­ емом колебании y(t) считается тот сигнал, комплексная огибающая которого имеет наибольшую по модулю кор­ реляцию с комплексной огибающей y(z).

Стандартные способы нахождения Z, рассматривались в § 3.2. Один из них состоит в вычислении Z; как длины двумерного вектора, компонентами которого служат кор­

воплощением этого варианта было бы М-канальное устрой­ ство, каждый канал которого состоял бы из двух корреля­ торов и схемы объединения zlt, z2i по правилу (3.14).

68

Другая возможность ис­ пользована в схеме раз-

Вместо линейных детекторов ЛД в этой схеме можно применить детекторы огибающей с любыми мо­ нотонными характеристиками, так как логика работы решающего блока РБ [см. (3.50)] сводится к отбору максимальной из величин Z, и вынесению решения о при­ сутствии на входе того сигнала, с которым согласован фильтр, заметнее других прореагировавший на у(/). Отме­ тим, что уменьшить число каналов различителя до М— 1 в отличие от случая детерминированных сигналов нельзя, так как сравнению в РБ подлежат уже не сами реакции СФ, а результаты их нелинейных преобразований (оги­ бающие).

Точные формулы для вероятностей ошибок различения М произвольных сигналов достаточно громоздки даже при М = 2, однако в приложениях чаще других встречаются ансамбли сигналов, ортогональных в усиленном смысле.

или, что эквивалентно, ортогональны детерминированные

Условия (3.51), (3.52) жестче обычного требования ортогональности, фигурировавшего ранее в применении к детерминированным сигналам. Так, два отрезка косинусо­ иды, сдвинутые на угол + л/2, являясь ортогональными в обычном смысле, не ортогональны при изменении сдвига фаз, т. е. в усиленном смысле. В то же время сигналы, не перекрывающиеся по времени или по спектру, ор­ тогональны и в усиленном смысле.

69