Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

корреляционная функция А’вых(т) по форме совпадает с Л^(т):

z есть линейное преобразование нормального случайного

сигнала на входе приводит к тому, что [см. (3.2)]

z = J y(t)s(t)dt - f [г(0 + /1(0 ]s(0df = fs2(0dz = E. oo о

40

Из физических соображений ясно, что дисперсия z, совпа­ дающая с дисперсией помехи на выходе СФ, не зависит от присутствия на входе сигнала и с учетом (3.4) D{z}=N0Е/2. Таким образом,

сйгнал/шум на выходе фильтра, согласованного с обна­ руживаемым сигналом s(t). График функции Ф(л) приведен на рис. 3.5. С учетом того, что Ф( — х) = 1 - Ф(л), выражение для рПС можно представить в виде

С помощью соотношений (3.5) и (3.6) осуществляется расчет обнаружителя в соответствии с принятым критерием оптимальности. Так, при использовании критерия Нейма­ на— Пирсона требуется минимизировать рпс при фиксиро­ ванном значении рлт. При этом из уравнения рлт=1-Ф(/|) следует найти нормированный порог Л = Ф-1(1 —рлт), где Ф-1()— функция, обратная Ф(х) (т. е. решение уравнения Ф(х)=у относительно х), и подставить полученное значение h в формулу для рПС (или рп0 = 1 -рпс). Зависимости

от q при фиксированных значениях вероятности ложной тревоги называют характеристиками обнаружения. Опи­ раясь на свойства интеграла вероятности Ф(х), легко установить, что зависимость рп0 от q является монотонно возрастающей, асимптотически стремящейся к единице при

41

<x>q*- . При q = 0 рпо = 1 -Ф[Ф-1(1 -рлт)]=рл1. Характерис­ тики обнаружения детерминированного сигнала приведены на рис. 3.6 (сплошные линии).

Часто бывает необходимо рассчитать минимальное значение параметра q, при котором достигается требуемая верность обнаружения, т. е. заданные значения рлт и рас. Это минимальное значение q = qMm определяет при задан­ ной спектральной плотности мощности шума NJ2 энергию сигнала Емяя, называемого иногда пороговым. Пользуясь

Рассмотрим сигнал, который не может считаться детерми­ нированным, так как содержит случайный параметр—фазу <р: ^(г;Э)=5'(г;<р). В общем виде модель такого сигнала можно записать как

s(r, <р) = S(r)cos [2nfot+у(0 + ф]=Re{5(0exp [/(27t/0t + ф) ]},(3.9)

где S(t) и y(t)—известные законы амплитудной и угловой модуляции; /0—-известная центральная частота; ф—слу­

чайная начальная фаза с априорной ПВ И^/ф); S(t) = =5(г)еЛ(,)—комплексная огибающая сигнала s(f), являю­

должен формировать усредненное ОП (2.20) и сравнивать

42

его с порогом. Поскольку начальная фаза <р радиоимпульса

п2z(<p) — Е

со со

функций u(t), v(t) f u(t)v(t)dt = f u±(z)y±(/)dz (равенство

Парсеваля для преобразования Гильберта), выражение для

z = H Y(f)S'(t)dt; Z=|z|.

(3.12)

2 о

Во многих задачах начальную фазу сигнала ф можно считать равномерно распределенной на интервале [ — л, л]: 1У0(<р) = ]/(2л), |ф|^л. При этом интеграл (3.10) с учетом

Воспользовавшись интегральным представлением модифи­

43

н„

Н.N

Z вектора с декартовыми составляющими Zj и z2. Как следует из (3.12), Z является абсолютным значением корреляции г комплексных огибающих принятого коле­

бания У(г) и сигнала 5(z). При этом, согласно (3.15), zt и z2 есть корреляции принятой реализации у(0 с квадратур­ ными составляющими сигнала ^(z) = S(z)cos[2n/oz + y(z)] и j-±(/) = S(/)sin[2n/oz + Y(/)] — детерминированными колеба­ ниями, несущие которых сдвинуты по фазе на угол л/2

рис. 3.1 состоит в наличии второго коррелятора и принятии решения по статистике Z, объединяющей выходные эффек­ ты обоих каналов. Если бы сигнал со случайной фазой

44

слабой корреляции последнего с опорным сигналом кор­ релятора s(t). Благодаря тому что на рис. 3.7 опорные сигналы корреляторов находятся в квадратуре, статистика Z не зависит от <р, в результате чего устраняется вредное влияние случайности начальной фазы. Таким образом, инвариантность Z к начальной фазе сигнала s(t; <р) объяс­ няется тем, что значение <р влияет только на аргумент

корреляции (3.12) комплексных огибающих Y(t) и S(t), тогда как Z есть модуль z.

Иная реализация оптимального обнаружителя возмож­ на при использовании фильтра, у которого комплексная

огибающая импульсной характеристики H(t) = S*(T — t). Подобный фильтр согласован с сигналом s(t; <р), имеющим некоторое фиксированное значение <р, например <р = 0 [в этом случае фильтр согласован с первой из квадратурных составляющих сигнала, т. е. с $(0]. Огибающую на выходе

При равенстве нулю сигнала за пределами интервала

рована как значение огибающей на выходе СФ в момент времени t = Т. Структурная схема обнаружителя на основе СФ приведена на рис. 3.8. Заметим, что вместо линейного детектора (ЛД) можно использовать любой, лишь бы его амплитудная характеристика была монотонной функцией огибающей входного процесса.

Для того чтобы рассчитать рлт, рлс в рассматриваемом случае, достаточно вспомнить, что отсчеты огибающей узкополосного нормального шума с дисперсией о2 распре­

Рис. 3.8

45

табулированная (2-функция Маркума (интегральное распре­ деление Рэлея — Райса).

Для построения характеристик обнаружения необходи­ мо выразить нормированный порог h через заданную

Рпо= 1 -Рпс= 1 -2(V~21прЛ1, ?)•

Характеристики обнаружения сигнала со случайной начальной фазой даны пунктиром на рис. 3.6.

46

в пороговом сигнале, связанные со случайным характером фазы. Эти потери обычно характеризуют показателем

рл1, р„с соответственно детерминированного сигнала и сиг­ нала со случайной начальной фазой. Величина £, показы­

с уменьшением значений рдт и рпс. Благодаря малым значениям Е, при малых рл1 и рпс ориентировочный расчет

формуле (3.8), полученной для модели детерминированного сигнала.

§ 3.3. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНЫМИ АМПЛИТУДОЙ И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ

Во многих практических задачах случайным пара­ метром обнаруживаемого сигнала наряду с началь­ ной фазой <р является и его амплитуда. В этом случае в модель сигнала (3.9) вводят дополнительный

47

смысл, что и в (3.10), т. е. представляют собой корреляцию принятого колебания y(f) с сигналом единичной амплитуды

s(t; <p) = Re{S(/)exp [/(2л/01 + <p) ]} в функции от фазы <р и эне­ ргию s(t; <р). Считая ПВ начальной фазы Й/0(ф) равно­ мерной и выполняя в (3.20) интегрирование по <р с учетом результатов § 3.2, получим

СО

0

где величина Z определена в (3.11), (3.14).

Так как подынтегральное выражение в (3.21) неотри­

со случайной начальной фазой и фиксированной амп­ литудой. Таким образом, структуры, приведенные на рис. 3.7, 3.8, сохраняют оптимальность и в том случае, когда у сигнала случайна не только фаза, но и амплитуда,

значением А. Чаще других на практике встречается рэлеевс­ кая модель флуктуаций амплитуды

хорошо согласующаяся, например, с реальными мерца­ ниями сигналов, отраженных от радиолокационных целей, федингом в линиях радиосвязи и т. и. Выбор параметра

48

ст л здесь произволен, так как истинная огибающая сигнала

в момент t есть Л|5(г)| = AS(f) и увеличение А во сколько-то раз при соответствующем уменьшении S(f) значения оги­ бающей не изменит. Обычно ст^ выбирают из условия

Л2=1. При этом средняя энергия сигнала Е(А) = А2Е равна

выполнения условия Л2=1 необходимо, чтобы СТл=1/2. Для рэлеевских флуктуаций А значение рпс можно вычислить, не прибегая к интегрированию в (3.22). Дейст­ вительно, мгновенные значения радиосигнала с начальной фазой, распределенной равномерно, и с амплитудой, флук­ туирующей по закону Рэлея, нормальны с нулевым

симых нормальных процессов, один из которых (шум)

(3.17), а (3.16), т. е. является рэлеевской (вместо обобщен­ ной рэлеевской), причем фигурирующий в (3.16) параметр

где h имеет тот же смысл, что и в (3.18), а параметр обнаружения q соответствует сигналу с единичной ампли­ тудой, т. е. усредненному по А значению мощности сигнала при флуктуациях, описываемых (3.23). Для построения характеристик обнаружения служит равенство, следующее

Характеристики обнаружения сигнала со случайной фазой и рэлеевскими флуктуациями амплитуды на рис. 3.6 нанесены штрихпунктиром. Их особенность состоит в том,

49