Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

экстраполяции. При этом стремятся к нулю и элементы корреляционной матрицы ошибок оценивания К’111) и К^2\ Данное свойство фильтра является следствием допущения о точном значении модели траектории и ее детермини­ рованном характере, в результате чего придается неоправ­ данно большой вес прошлым измерениям. Поэтому если реальная траектория не совпадает с принятой моделью, например, за счет маневра, информация о котором не поступает на вход фильтра из-за малости его коэффици­ ентов усиления, то оценки параметров траектории сущест­ венно отличаются от их истинных значений и фильтр будет расходящимся. Фильтры, в которых оценка выра­ батывается по всей предыстории входного процесса, на­ зываются фильтрами с растущей памятью, поскольку число измерений, участвующих в формировании оценки, с увеличением i неограниченно возрастает. Таким образом, фильтр Калмана является примером фильтра с растущей памятью. Из изложенного следует, что для предотвращения эффекта расходимости оценок необходимо ограничить память фильтра. Это можно сделать различными спосо­ бами, важнейшими из которых являются:

1) использование в алгоритме (22.29) постоянных значений коэффициентов усиления фильтра (7ь = а, <72; = 0. При этом последним измерениям придается такой же вес, как и прошлым. Фильтры такого типа называются фильт­ рами с эффективной конечной памятью;

2)выбор коэффициентов усиления G( на основе гипотезы об экспоненциальном старении данных, что проявляется в увеличении со временем элементов корреля­ ционной матрицы ошибок оценок экстраполяции. Эти фильтры образуют класс экспоненциальных фильтров Кал­ мана;

3)применение рекуррентных аналогов фильтров с ко­ нечной памятью, рассмотренных ранее.

Остановимся кратко на характеристиках перечисленных типов фильтров, нашедших широкое применение в устрой­

ствах вторичной обработки сигналов радиолокационных и радионавигационных систем.

Из фильтров с эффективной конечной памятью наибо­ лее часто используются полиномиальные фильтры второго порядка, называемые аф-фильтрами, и фильтры третьего порядка, известные в литературе как а$у-фильтры. Рас­ смотрим оф-фильтры. Структурная схема этих фильтров приведена на рис. 22.8 для Сь = а и G2i = p (отсюда и их название). Пользуясь методами теории автоматического

461

регулирования, можно показать, что дискретная передаточ­

Знание передаточной функции позволяет обоснованно подойти к выбору коэффициентов усиления а и р с точки зрения обеспечения устойчивости фильтра, требуемой дли­ тельности и качества переходного процесса, получения минимума среднеквадратического значения суммарной ошибки фильтрации в установившемся режиме при задан­ ном ускорении на .*входе

Для экспоненциальных фильтров Калмана уравнение оценки, определяющее алгоритм их работы, можно запи­ сать в виде (22.29). Однако коэффициенты усиления фильтра С1; и G2i, а также корреляционные матрицы ошибок фильтрации и экстраполяции имеют уже иной вид. Для их нахождения воспользуемся теми же допуще­ ниями и той же методикой, что и при выводе выражений (22.34) и (22.35). С учетом гипотезы об экспоненциальном старении данных выражение (22.33) для матрицы, обратной корреляционной матрице ошибок фильтрации, можно за­ писать в виде

циент, характеризующий скорость старения данных. Обыч­ но 0<с<0,5. Так как з>1, то элементы корреляционной матрицы Км при г-+оо отличны от нуля. Следовательно, отличны от нуля и установившиеся значения коэффициен­ тов усиления Gla> и С2оо, в результате чего расходимость

радиолокационной информации. — М.: Советское радио, 1974. ** См.: Тарасов В. Г. Межсамолетная навигация. — М.: Ма­

шиностроение, 1980.

462

Рис. 22.10

Рекуррентные полиномиальные фильтры с конечной памятью имеют те же характеристики, что и соответствую­ щие нерекуррентные фильтры, описываемые соотношением (22.20). Однако для их реализации требуется меньшее число операций умножения, что особенно важно при микропроцессорном исполнении устройств вторичной об­ работки. Структурная схема рекуррентного фильтра с ко­ нечной памятью приведена на рис. 22.10. Расчетные соот­ ношения, определяющие уравнение оценки, корреляцион­ ную матрицу ошибок фильтрации и матричные коэф­

(рис. 22.10) образует фильтр Калмана для текущих изме­ рений Y;, а нижний—для измерений Y(_N+1, задержанных относительно текущих на N тактов. Для образования невязки (обновляющего процесса) во втором фильтре

463

используется оценка интерполяции Bf(N- 2)Z( _ t. Так как рассматриваемый фильтр линейный и для него справедлив принцип суперпозиции, формулы (22.39)—(22.43) полно­ стью аналогичны формулам (4.88)—(4.90), описывающим фильтр Калмана с учетом дополнений, вызванных наличи­ ем второго контура. Нетрудно показать, что данный фильтр имеет импульсную характеристику конечной дли­ тельности. Действительно, импульсный отклик, возникаю­ щий в верхнем контуре фильтра при подаче на его вход 8-импульса, полностью компенсируется через промежуток времени NTa откликом, возникшим в нижнем контуре. В этом можно убедиться, анализируя непосредственно прохождение 8-импульса через фильтр первого порядка при Н=1, В;=1 и Gic = Gid = const. Соответствующая им­ пульсная реакция представляет собой пачку из N 8- импульсов одинаковой амплитуды.

При оценке параметров линейной траектории коэф­ фициенты, усиления фильтра, определяемые соотношения­ ми (22.42) и (22.43), с учетом выражений (22.26) и (22.28) вычисляются следующим образом:

При i^N матричный коэффициент усиления G1C рас­ считывается по формуле (22.35), как и в полиномиальном фильтре Калмана, Gid = 0. Таким образом, при вводе, когда i^N, рассматриваемый фильтр с конечной памятью работает, как фильтр Калмана, а начиная с Z=.ZV+1 к работе подключается второй контур и параметры фильтра остаются далее постоянными.

Оценивание параметров траекторий, описываемых мар­ ковскими моделями. Как отмечалось, такими моделями часто описывают траектории маневрирующих объектов. При этом стохастическое дифференциальное уравнение вида (22.2) определяет векторный марковский процесс k(t),

464

одним из компонентов которого является траектория объекта. В § 4.9 показано, что для получения оценки такого процесса следует использовать алгоритм фильтра Калмана, задаваемый соотношением (4.88)—(4.90) и ре­ ализуемый с помощью цифровых вычислительных устройств. Однако предварительно необходимо осущест­ вить переход от дифференциального уравнения (22.2), описывающего поведение реального объекта в непрерывном времени, к конечно-разностному уравнению вида (4.79), определяющему его состояние в дискретные моменты. Это легко сделать, используя известное решение уравнения (22.2), имеющее вид

уравнение (22.45) приведем к виду к^ВД.-^+у,-, после чего можно применить формулы (4.88)—(4-90), описыва­ ющие дискретный алгоритм калмановской фильтрации.

Остановимся на некоторых важных для практических положений частных случаях использования алгоритмов дискретной фильтрации. Прежде всего рассмотрим случай, когда в модели траектории и канала измерений присутст­ вуют неизвестные воздействия или сигналы, которые можно считать постоянными на интервале наблюдения. Например, сигналы измерений могут содержать медленно меняющиеся составляющие из-за дрейфов параметров усилителей из­ мерительной аппаратуры вследствие методических погреш­ ностей измерений или воздействия внешних возмущений.

Уравнения состояния и измерений для этого случая

Решение задачи фильтрации для модели (22.48), (22.49) может быть найдено методом расширения вектора состоя­ ния системы. Рассматривая а, и Ь; как добавочные компоненты этого вектора, получаем следующую модель системы:

к,-

Уравнения (22.50) и (22.51), являющиеся уравнениями состояния и измерений расширенной системы, позволяют построить фильтр Калмана по формулам (4.88)—(4.90). Структурная схема этого фильтра приведена на рис. 22.11. В нем помимо к,- производится оценка векторов а, и Ь,, причем определяется и точность этих оценок, выражаемая соответствующими элементами корреляционной матрицы ошибок фильтрации. Более общим является случай, когда а и Ь — временные полиномы с постоянными, но не известными коэффициентами. При этом в расширенный вектор состояния в качестве дополнительных компонентов вводят все г параметров полинома (г—1—его степень).

Метод расширения вектора состояния применим и для дискретной фильтрации в случае коррелированного шума измерений. При этом предполагают, что последний можно аппроксимировать компонентом векторного марковского процесса. Таким образом, модель фильтруемого сообщения имеет вид

к; = В,.к;_1 + v,_ls

Рис. 22.11

166

процесса. Таким образом, модель фильтруемого сообщения имеет вид

а в модели ¥( = НД, + п, шум измерений п( получается на выходе формирующего фильтра, возбуждаемого белым

Наличие корреляции между элементами последователь­ ности не позволяет непосредственно построить фильтр Калмана для рассматриваемой модели. Поэтому, образо­ вав расширенный вектор состояния в виде k(=* ||XJn)||T, получим следующее описание модели расширенной сис­ темы:

Алгоритм оптимальной фильтрации для этой системы непосредственно следует из уравнений (4.88) и может быть

В нем осуществляется совместное оценивание вектора состояния к,- и коррелированного шума измерений п,, результаты которого используют при нахождении общего

Рис. 22.12

Рис. 22.13

Следует, однако, отметить, что подобный подход к решению задачи фильтрации при коррелированных шумах измерений имеет два существенных недостатка: 1) из-за расширения вектора состояния системы и увеличения общей размерности задачи возрастают требования к необ­ ходимому объему вычислений; 2) из-за отсутствия шума в уравнении измерений расширенной системы (22.53) на определенном этапе вычислений корреляционная матрица *К становится вырожденной, что может привести к рас­ ходимости оценки. Указанные недостатки можно исклю­ чить, если ввести в уравнение измерений (22.53) аддитивный шум п? с нулевым средним и положительно определенной для всех i корреляционной матрицей Если присутствие такого шума в уравнении измерений необоснованно, то для решения данной задачи следует использовать раз­ ностную схему измерений *.

Рассмотрим некоторые особенности реализации алго­ ритмов фильтрации в многоканальных системах. При большой размерности вектора измерений Y,-, когда число каналов приема сигнала N велико, фильтр Калмана, построенный непосредственно по формулам (4.88)—(4.90), получается сложным и при реализации на ЭВМ требует значительного объема вычислений. Для уменьшения этого объема используют фильтры с предварительным сжатием входных данных (рис. 22.13). Сущность такого сжатия заключается в том, что сначала на каждом шаге измерений по данным всех каналов с помощью нерекуррентного

468

состояния, в результате чего уменьшается размерность вектора эквивалентных измерений zi; поступающего на вход основного фильтра Калмана, и тем самым сокраща­ ется необходимый для его реализации объем вычислений.

Алгоритм фильтрации с предварительным сжатием входных данных можно получить путем преобразования основного уравнения калмановской фильтрации (4.88) сле­ дующим образом. Перепишем выражение (4.88) с учетом того, что при многоканальной фильтрации с независимыми

где diag|| -|| обозначает диагональную матрицу. В резуль­ тате получим

рис. 22.13. Вектор эквивалентных измерений z= образуется

как нормированная относительно величины £ Ки(у, весо-

j=i

вая сумма входных реализаций всех каналов, причем весовые коэффициенты обратно пропорциональны соот­ ветствующим дисперсиям шумов измерений. В основном фильтре Калмана производится окончательное оценивание процесса X, с учетом принятой для него модели.

§ 22.3. КОМПЛЕКСНЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Под комплексными радиотехническими системами понима­ ют системы, в которых осуществляется совместная обра­ ботка информации от нескольких измерителей (датчиков),

469

определяющих одни и те же или функционально связанные между собой параметры. В качестве измерителей в комп­ лексную систему входят радиотехнические и нерадиотех­ нические датчики, такие, как гироскопические, инерциаль­ ные, аэродинамические, барометрические и т. п. Например, скорость ЛА можно измерить с помощью ДИСС, а также путем интегрирования показаний акселерометров; коорди­ наты ЛА можно определить используя радиотехнические системы ближней или дальней навигации и с помощью

и тех же параметров с помощью устройств и систем, работающих на различных физических принципах, обус­ ловлена тем, что каждый измеритель в отдельности не удовлетворяет всем необходимым требованиям. Так, радиотехнические измерители, обеспечивая высокую то­ чность измерений, практически не зависящую от про­ должительности работы, имеют ограниченную дальность действия, подвержены действию активных радиопомех, часто обладают ограниченной пропускной способностью. В свою очередь, нерадиотехнические измерители, имеющие неограниченную дальность действия, не зависящие от влияния радиопомех и обладающие скрытностью работы, как правило, недостаточно точны по сравнению с радиотех­ ническими, причем их ошибки с течением времени увеличиваются. Поэтому в системах навигации и упра­ вления комплексирование измерений применяется для повышения точности, помехозащищенности и надежности оценки параметров движения объектов. Рассмотрим ос­ новные способы комплексирования. Они осуществляют на основе взаимной компенсации и фильтрации по­ грешности отдельных измерителей либо на основе мно­ гоканальной фильтрации.

Способ компенсации. Поясним суть этого способа на примере навигационной системы, содержащей два изме­ рителя, определяющих один и тот же навигационный параметр (рис. 22.14). Система содержит радиотехнический (РТИ) и автономный (АИ) измерители, выходные сигналы которых можно представить в виде

JP(0 = Н0+пр(0;

где Х(?)—измеряемый навигационный параметр; ир(?), «о(0— флуктуационные погрешности измерения радиотехнической

470