Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

Рис. 22.3

ускорениями по-прежнему определяется соотношением (22.2), в котором вектор состояния k(z) содержит три компоненты: координату скорость к2(0 и ускорение

^з (О- Соответствующий формирующий фильтр показан на

рис. 22.3.

Маневрирование космических аппаратов осуществля­ ется путем включения специальных двигателей маневра, обеспечивающих переход с одной орбиты на другую. В момент включения происходит скачкообразное изменение ускорения от нуля до некоторого значения, сохраняющегося неизменным до конца маневра, обычно в течение 30—100 с. Следовательно, каждая отдельная траектория маневриру­ ющего космического объекта может быть представлена в виде процесса со скачкообразным в случайные моменты времени изменением параметров. Если, например, предпо­ ложить, что траектория невозмущенного движения описы­ вается полиномом второй степени, то соответствующий формирующий фильтр может быть представлен структур­ ной схемой, приведенной на рис. 22.2. Однако эту схему следует дополнить переключателем Па, подключающим в случайные моменты времени ко входу первого интег­ ратора постоянные ускорения из заданного множества на промежуток времени, определяемый продолжительностью маневра.

Следует отметить, что на практике могут встретиться случаи, когда функциональную зависимость вектора состо­ яния динамического объекта от времени нельзя задать (о характере возможных маневров заранее не известно) или использовать (например, при редких местоопределениях по данным СРНС и наличии ошибок модели). В этих случаях повышение точности измерения координат воз­ можно только путем получения избыточных наблюдений.

Математическое описание моделей траекторий является первым этапом формализации задачи синтеза оптимальных алгоритмов обработки сигналов в РТС определении коор­ динат и параметров движения объектов. Второй этап

451

Рис. 22.4

заключается в формировании модели измерений в точке приема. При аддитивных шумовых помехах в радиоканале принимаемый сигнал Y(z), называемый.в теории фильтра­ ции вектором измерений, описывается соотношением

Особенность радиотехнических задач заключается в не­ линейном характере функции s[k(z), /] и быстром изме­ нении ее во времени. В общем случае справедливо представление

ющая сообщение (оцениваемую траекторию) с параметрами модуляции.

В отличие от S{} функция h[X (/),/] медленно изменяется в процессе наблюдения и обычно описывается тригонометрическими соотношениями, связывающими сис­ тему координат, в которой задан вектор состояния k (г), с поверхностями положений, определяемыми данной РТС.

угломерно-дальномерной радиотехнической системы ближ­ ней навигации. В этом случае измеряемые величины а (азимут) и D (дальность) связаны с соответствующими

arctg

(22.8)

Л^(0-2Грм]2 +[Г(0- Грм]2

452

где Хрм, Урм — координаты радиомаяка, известные на борту ЛА.

Если определение местоположения объекта осуществля­ ется в такой системе координат, в которой измеряются непосредственно компоненты вектора состояния, то функ­ ция h [k (z), г] оказывается линейной. В рассмотренном примере это имеет место, если местоположение ЛА вычисляется относительно радиомаяка в полярной системе координат.

Таким образом, оценивание параметров движения объектов заключается в том, чтобы на основании задан­ ной модели движения и известного уравнения измерений

в общем случае данная задача должна решаться метода­ ми теории нелинейной фильтрации [13]. Однако прак­ тическая реализация оптимальных алгоритмов, вытека­ ющих из результатов этой теории, часто оказывается сложной. Поэтому для инженерной практики важное значение имеет разработка субоптимальных алгоритмов оценивания координат и параметров движения объектов.

на первичную и вторичную. К первичной обработке относят поиск, обнаружение и оценивание параметров сигналов, несущих информацию о дальности, скорости, угловых координатах и т. п. Вторичная обработка заключа­ ется в определении текущих координат местоположения объектов по результатам измерений соответствующих параметров сигналов с учетом принятой модели движения. При таком разделении все необходимые операции над радиосигналами, требующие высокого быстродействия, вы­ полняются устройствами первичной обработки. В качестве устройств вторичной обработки, как правило, используются специализированные цифровые вычислители или управля­ ющие ЭВМ.

§22.2. МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ

Оценивание параметров траекторий, заданных детерминиро­ ванными функциями, при фиксированном объеме выборки.

Как отмечалось в § 4.9, для решения данной задачи можно воспользоваться методом максимального правдоподобия,

453

Рис. 22.5

поскольку в этом случае конечное число параметров, постоянных на интервале наблюдения, полностью опреде­ ляет оцениваемую функцию. Оценим параметры траекто­ рии, заданной полиномом первой степени. Полученные при этом общие результаты будут справедливы для любых функций данного класса.

Пусть на вход устройства вторичной обработки посту­ пают результаты измерений полиномиальной функции z(k, г) = Х1+Х2/ в дискретные, не обязательно равноотстоя­ щие, моменты времени (рис. 22.5). Априорная информация о законах распределения Xj и Х2 отсутствует. Так как измерения содержат случайные погрешности, то результаты измерений имеют вид

где «(/,)—погрешности измерения соответствующих пара­ метров радиосигнала устройствами первичной обработки, имеющие гауссовское распределение с заданными корреля­ ционными свойствами.

Задача состоит в получении оценок постоянных пара­ метров Xj и Х2 по результатам измерений у(/,). На основании (22.9) построим систему уравнений

y(<i)= X1+X2/I+«(rl);

у(/2) = ^1+^2 + и('2);

(22.10)

Введя обозначения

454

"(g)

"('*)

На основе этого представления задач оценивание векторного параметра к может быть осуществлено в общем виде для любой функции из класса детерминированных, зависящих от конечного числа параметров и допускающих запись в виде s=Hk.

Для оценки векторного параметра к, входящего в урав­ нение (22.12), воспользуемся методом максимального прав­ доподобия. Используя формулу (1.6) для многомерной гауссовской ПВ, запишем выражение для ФП:

где K„ = nnT—корреляционная матрица вектора погрешнос­ тей измерений. Оценка максимального правдоподобия векторного параметра кмп находится из решения уравнения правдоподобия

>-=к„п

Продифференцировав логарифм ФП по векторному аргументу к, получим

НТК„-1 (Y—Нк)= 0. Следовательно,

Корреляционная матрица ошибок оценки с учетом соотношений (22.12), (22.16) и (22.17) может быть рассчи­ тана следующим образом:

455

кх = (k - kMn) (k - kMn)T = GnnTGT = GK„GT=

= (HTK„-1H) -1 H’K -1 K„K„“1H (HTC -1H)'1 =

При выводе этого соотношения использованы свойство симметричности корреляционных матриц, правила транспо­ нирования произведения (АВ)Т = ВТАТ и обращения транспо­ нированной квадратной матрицы

Вернемся к оцениванию параметров полинома первой степени. Подставив в (22.15) выражения для Y, Н, к и п из (22.11) с учетом предположения о независимости, равноточ-

где a„ p; — весовые функции оценки координаты и скорости. Структурная схема алгоритма вычисления оценок пара­ метров линейной траектории при фиксированном объеме выборки приведена на рис. 22.6, а. На рис. 22.6, б показаны

Поскольку для вычисления оценок в данном фильтре используются только N последних измерений, такие фильт­ ры называются фильтрами с конечной памятью.

Корреляционная матрица ошибок оценивания парамет­ ров находится путем подстановки соотношений (22.11) в (22.18). При тех же условиях независимости, равноточности и равнодискретности измерений выражение для корреляционной матрицы можно привести к следующему окончательному виду:

456

Рис. 22.6

^(11) ^(12)

Кх =

^21) ^22)

2(2^—I) 6

JV(W+1) TaN(N+l)

(22.24)

6 12

TaN(N+\) T2N(N2-\)

Диагональные элементы этой матрицы определяют дисперсии ошибок оценивания координаты и скорости Х2. На рис. 22.7 приведены зависимости нормированных элементов корреляционной матрицы от объема выборки. Из анализа этих зависимостей следует, что для получения достаточно точных оценок параметров линейной траекто­ рии необходимо проводить совместную обработку не менее шести-семи измере­ ний.

С вычислительной точ­ ки зрения рассматриваемый алгоритм имеет две особен­ ности. Во-первых, для его реализации требуется запо­ минать все N отсчетов, по

457

которым вычисляется оценка, во-вторых, с приходом очередного измерения необходимо повторять все вычисле­ ния для получения текущих оценок параметров, что требует выполнения 2N операций умножения и сложения на каждом шаге. Более экономичным по требуемому объему памяти и числу операций являются рекуррентные алгоритмы. В таких алгоритмах результаты новых измерений учитыва­ ются только путем внесения поправок в значение уже имеющейся оценки, причем полностью повторять все вычисления заново не нужно.

Рекуррентное оценивание параметров полиномиальных траекторий. Для решения этой задачи можно воспользо­

так и для марковских моделей. Ограничиваясь случаем линейной траектории, запишем уравнение состояния ди­ скретной динамической системы, моделирующей эту тра­ екторию, в виде

(22.25)

где 1;= Х1;^|Г—вектор состояния системы;

(22.26)

—ее переходная матрица. Компоненты вектора состояния

иХ2; имеют смысл координаты и скорости ее изменения.

Так как на вход устройства вторичной обработки поступают результаты измерений координаты, то уравне­

Подставив соотношения (22.26) и (22.28) в формулы (4.88) — (4.90), определяющие уравнения оценки, • корреля­ ционную матрицу ошибок фильтрации и матричный коэффициент усиления фильтра, после элементарных пре­ образований получим

£I=B£,_1+G<(Yi-HBXi_1)=

458

Рис. 22.8

Структурная схема алгоритма, построенного в соответ­ ствии с формулами (22.29) — (22.31), приведена на рис. 22.8. Этот алгоритм описывает дискретный фильтр с двумя интеграторами, коэффициенты усиления которого и G2i, влияющие на эффективную ширину полосы пропускания фильтра, являются переменными. Функциональный вид этих коэффициентов зависит от априорных данных, заданных вектором Хо и корреляционной матрицей Кхо. При радиолока­ ционных измерениях эти характеристики зависят от распреде­ ления ошибок ввода и, следовательно, от способа построения и качества работы устройств первичной обработки. На рис. 22.9 (сплошные кривые) приведены графики Glt и G2i, рассчитанные на ЭВМ при

459

зависимостей для коэффициентов усиления Gu и G2i. Воспользуемся для этого выражением (22.30), из которого непосредственно следует, что

+11’11/^;

Kf1} = (Вт)"1 Kx-J- 2)В -1 +НтН/а„2;

Кй^В^КГс/В-ЧН’Н/о2. (22.32)

Подставив поочередно равенства (22.32) одно в другое, получим

CTn к = 0

Так как априорная информация о начальных значениях параметров траектории отсутствует, то Кх~о1=О. Приняв во внимание соотношения (22.26) и (22.28), выражение для корреляционной матрицы ошибок фильтрации можно привести к следующему виду:

Учтя равенство G=KuHT/a2, найдем окончательное выражение для матричного коэффициента усиления фильтра:

Графики для коэффициентов усиления Gu и G2i, построенные в соответствии с формулой (22.35), показаны на рис. 22.9 (пунктирные линии). Как следует из приведен­ ных зависимостей, основная особенность коэффициентов усиления фильтра 61; и G2i заключается в их стремлении к нулю при г-»оо. Физически это означает, что с течением времени по мере уточнения оценок параметров траектории эффективная полоса пропускания фильтра сужается, роль текущих измерений становится все меньшей и при ;->со фильтр размыкается, переходя в режим выдачи оценок

460