Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

Если данные об априорных вероятностях ненадежны и проектировщик предпочел критерий минимума суммы условных вероятностей ошибок (2.3), то соответствующее оптимальное правило различения можно получить из (2.8)

какого из неравенств влечет за собой принятие соответ­ ствующего решения. Правило (2.11) традиционно представляют в виде

и-ИЖ)». р0п01

(2.12)

(1-р0)п10’

называя отношение / двух значений ФП- отношением

(коэффициентом) правдоподобия (ОП). Как видно, байе­ совский обнаружитель детерминированного сигнала должен для полученной реализации y(z) вычислить ОП / и сравнить его с порогом /п, зависящим от рисков и априорных вероятностей отсутствия и наличия сигнала.

Если разработчик обнаружителя ориентируется на критерий идеального наблюдателя, то в выражении (2.12) следует положить П01=П10, что превратит его в правило МАВ, сделав пороговый уровень равным ро/(^-Ро)- Анало­ гично, принятие за основу критерия минимума />ошуСл = =Рлт+Рпс (П01=П10, />о = 1/2) придаст (2.12) вид правила МП, для которого /п=1. Наконец, стратегию обнаружителя,

30

оптимального по Нейману — Пирсону, также можно опи­ сать соотношением (2.12), если значение /п выбрать из условия поддержания вероятности ложной тревоги не

с порогом. От конкретного критерия зависит лишь значение порога, и поэтому обнаружитель, наилучший по одному критерию, трансформируется в оптимальный по другому простым изменением порога /п.

Завершим параграф одним существенным для дальней­ шего рассуждением. Хотя выражения (2.6) —(2.12) одноэйачно определяют последовательность действий оптималь- /ных различителей, соображения практического плана неред­ ко толкают на путь таких модификаций этих правил, реальное воплощение которых (аппаратурное или програм­ мное) оказалось бы наиболее простым. В основе подобных модификаций лежит переход от величин, фигурирующих в (2.6) — (2.12), к так называемым достаточным статисти­ кам—величинам, заменяющим ФП, ОП и т. п. без потери оптимальности соответствующего правила. Так, достаточ­ ными статистиками при различении сигналов по правилу

любая монотонно изменяющаяся функция. Действительно, если, например, функция /(•) монотонно возрастает, то система неравенств

ЛиЛ(Л^)>Л^(Я'М)]- '=<>> 1- •••> А/-1

равносильна системе неравенств в (2.10), поэтому правило

ЛИЛ(ЛМ^Ли'М'МЛ '=°. •••> Af-1

СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Далеко не всегда наблюдатель столь подробно априори осведомлен о различаемых сигналах, как это полагалось в § 2.2. Чаще ему заранее не известны не только номер присутствующего в анализируемой реализации сигнала, но и значения каких-либо параметров (амплитуды, частоты, фазы и пр.) каждого из М возможных сигналов. Сами сигналы при этом уже нс являются детерминированными,

31

поскольку параметры их не заданы; соответствующую задачу различения называют различением сигналов с неиз­ вестными параметрами.

Предположим, что ьй сигнал зависит от mt априори неизвестных параметров 9‘i, 9‘2, .... , которые для компактности объединим в w.-мерный вектор неизвестных параметров 9,= (9‘i, Э2, ..., 9„.)T, подчеркнув в обозначении ьго сигнала s,(f; 9,) зависимость последнего от 9,. Тогда при истинности Н), т. е. при наличии ьго сигнала в наблюдаемой реализации, имеем y(t) = F [s,(f; 9,), х(г)] и параметры /-го сигнала 9; окажутся некими параметрами распределения lVy процесса, ансамблю которого принадлежит у (г). Таким образом, класс распределений IV,, отвечающий гипотезе Я(, будет содержать не одно распределение, а столько, сколько различных значений может принять вектор параметров 9,. Если, например, ьй сигнал есть радиоимпульс определенной частоты с амплитудой и фазой, о которых априори известно только, что каждая из них может независимо принимать по 10 различных значений, то класс W; содержит 100 распределе­ ний—по числу возможных сочетаний амплитуд и фаз. При этом гипотезы оказываются сложными параметрическими, так как перечисление всех распределений из Wt свелось бы к заданию всех возможных значений 9;. В итоге процедура различения М сигналов с неизвестными параметрами выливается в проверку М сложных параметрических гипотез.

Не имея возможности даже бегло осветить общую проблематику подобных задач, рассмотрим здесь лишь важный для практики частный случай, когда проверяемые сложные гипотезы удается заменить простыми. Такое упрощение оказывается осуществимым, если неизвестные параметры сигнала могут интерпретироваться как случайные величины с заданной априорной ПВ 1Г0(9,). Подчеркнем, что определением «априорная» в применении к ПВ Жо(9,) акцентируется независимость содержащихся в ней сведений от вида анализируемой реализации у(г). В JK0(9() выражена вся информация о вероятностях возможных значений параметров ьго сигнала, которой наблюдатель располагает еще до того, как приступает к наблюдению реализации y(f).

Вернемся на время к дискретному наблюдению, приняв во внимание, что при истинности Я; ПВ вектора наблюдений у содержит в качестве параметров 9f. Поэтому для упомяну­ той ПВ уместно обозначение IV(у|ЯЬ 9;), где второе условие указывает на то, что при данной гипотезе Н, ПВ у может меняться в зависимости от конкретных значений Э;. Вос­ пользовавшись теоремой умножения вероятностей, запишем

32

где правая часть является условной совместной ПВ векторов у и 9j при условии присутствия в y(t) /-го сигнала. Интегрируя эту совместную ПВ по 9,-, из соотношения согласованности (формулы полной вероятности) получим ПВ у при истинности Я;:

Полученная ПВ вектора у при истинности Я, не зависит от неизвестных параметров Z-ro сигнала и при полной статистической заданности помехи x(t) является однозначно определенной функцией у для каждого i. Таким образом, каждой Я, соответствует одна ПВ и гипо­ теза Я; превратилась в простую. Перейдя вновь от дискретных наблюдений к непрерывным, т. е. от ПВ вектора у к функционалам ПВ у(/), и объединив (2.13), (2.14), получим

Таким образом, знание априорной ПВ И^^) случай­ ных параметров 9,, Z=0, 1, ..., М— 1, различаемых сигналов позволяет трансформировать сложные гипотезы в простые, открывая тем самым путь к использованию байесовского подхода и критериев, описанных в § 2.2. В итоге при различении М сигналов со случайными параметрами оказываются применимыми все приведенные в предыдущем параграфе оптимальные правила [а именно (2.6)—(2.12)]. Необходимо лишь помнить, что фигурирующая в них ФП H^(y(r)|H£) должна быть предварительно определена из (2.15) с учетом заданной априорной ПВ неизвестных параметров Процедура, предписываемая (2.15), есть не что иное, как усреднение ФП J¥(y(t )|Я,-, Э;), содержащей случайные параметры по всем возможным значениям 9,- с учетом известных вероятностей появления последних 1Г0(9;)а9;.

§ 2.4. ФУНКЦИЯ И ОТНОШЕНИЕ ПРАВДОПОДОБИЯ ПРИ РАЗЛИЧЕНИИ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНОГО НОРМАЛЬНОГО ШУМА

Какое бы из введенных в § 2.2 оптимальных правил ни было положено в основу работы различителя, наиболее существенным действием в нем оказывается вычисление ФП Ил(у(Г)|Я{). ФП — единственная из всех используемых различителсм величин, зависящая от вида принятой

реализации и вследствие этого случайно, непредсказуемо меняющаяся от опыта к опыту. После формирования ФП различитель либо непосредственно приступает к при­ нятию решения (правило МП), лйбо предварительно вычисляет апостериорные вероятности (правило МАВ) или условные средние риски [правило (2.6)]. В последних случаях помимо найденной в данном опыте ФП приходится учитывать заранее заданные константы (ап­

ПВ (функционал ПВ) наблюдаемого процесса при условии истинности Hi, рассматриваемая для фиксированной реали­ зации y(t) как функция номера гипотезы L Таким образом, если имеется выражение функционала ПВ W(y(t)\Hi), задающее «вероятности» тех или иных реализаций y(t) при условии истинности f-й гипотезы, то получение ФП сводится к подстановке в него данной наблюдаемой

наружения сигналов будет вестись применительно к помехе в виде аддитивного нормального (гауссовского) шума. Аддитивность означает, что помеха складывается с сиг­ налом, так что под F [ •, • ] понимают обычную алгебраи­ ческую сумму сигнала и помехи. Разумеется, можно указать практические задачи, где механизм взаимодействия сигнала с помехой иной, однако модель аддитивных помех описывает наибольшее число реальных ситуаций и потому представляет основной интерес в статистической теории радиосистем. Что касается допущения о нормальности шума, то соображения в его пользу были приведены в § 1.4. Вопросы обработки сигналов на фоне негауссовских помех носят более частный характер, чем изучаемые здесь, и им посвящена специальная литература.

Отложив до § 3.8 учет нюансов, связанных с возможной «окрашенностью» шума, будем считать последний белым. При этом выражения для ФП и ОП можно получить с использованием функционала ПВ (1.9).

34

Детерминированные сигналы. При различении М детер-

гминированных сигналов на фоне аддитивного шума гипотеза Hi означает, что y(t) = x(t) + s^t), т. е. x(Z)=y(z) —5((г). Поэтому из выражения (1.9) для ФП получаем

1Г(у(?)|Я,)=И/л(у(?)-5;(<)) = сехр{--^- J ]>(г)-^(z)]2dr},

/VQ О

(2.16)

где обозначением lFn( ) подчеркнуто, что у(<) — S;(z) под­ ставляют в функционал ПВ помехи x(z) = n(z).

Последняя запись позволяет дать наглядную интер­ претацию правила МП (2.10): для данной реализации y{t) принимают решение о присутствии в ней того из М сиг­ налов, который наименее уклоняется от y(t). При этом мерой уклонения является энергия разности y(t) и з,(г).

Для дальнейшего использования ФП удобно предста­ вить в форме, следующей из (2.16) после раскрытия скобок под интегралом:

корреляционный интеграл (или просто корреляция) принятой

эффициент, зависящий от y(t), но не от i, и потому не влияющий на решения, принимаемые согласно выводам § 2.2 по результатам сравнения значений соответствующих функций i (условного среднего риска, апостериорной веро­ ятности, ФП), вычисленных для конкретной наблюдаемой реализации y(t).

Смысл корреляционного интеграла очевиден: если y(t) и sf(z), согласно современным концепциям теории сигналов, рассматривать как векторы в бесконечномерном евклидо­ вом пространстве, то zf окажется их скалярным произ­ ведением, т. е. величиной, характеризующей близость, сход­ ство y(t) и 5Д/). Отсюда вытекает следующая физическая

того сигнала, который имеет наибольшее сходство с y(t). В частном случае обнаружения детерминированного сигнала M=l, so(t) = 0, zo = 0, Ео = 0 и, согласно (2.17),

=f Sj(t)df, и 0

где индекс 1 у z и Е опущен, так как ненулевой сигнал единственный и может быть обозначен как s(t).

Сигналы со случайными параметрами. В соответствии с выводами § 2.3 ФП при различении сигналов со случай­ ными параметрами, априорные распределения которых заданы, может быть получена усреднением ФП, построен­ ной для детерминированных сигналов. При конкретных значениях неизвестных параметров /-го сигнала последний становится детерминированным и, согласно (2.17),

27,(9,) - £,(9,)'

lF(v(«)|Я;, 9,) = <?уехр

т

где £,= f Si(t; 9f)df— энергия /-го сигнала с фиксирован-

о

ным и равным 9,- значением вектора неизвестных пара­

метров; с,(9;)= f y(f)^,(f; 9;)df — корреляция y(t) с ьм

о

сигналом, имеющим фиксированное и равное 9, значение вектора неизвестных параметров. Обратившись к (2.15), приходим к выражению для ФП

В частном случае обнаружения ненулевого сигнала, повторив в приложении к (2.19) рассуждения, приведенные в конце предыдущего пункта, придем к выражению для ОП

36

где z(9)— корреляция y(t) с обнаруживаемым сигналом

параметров 9 обнаруживаемого сигнала. Действия, выпол­ няемые согласно (2.20), соответствуют усреднению ОП для детерминированного сигнала с фиксированными значе­ ниями 9 по всем возможным значениям 9. Поэтому (2.20) часто называют усредненным ОП.

Изложенные принципы обнаружения и различения сигналов в следующей главе будут конкретизированы применительно к различным моделям сигналов. При этом главная цель будет состоять в отыскании алгоритмов работы оптимальных устройств и определении их качест­ венных показателей. Для обнаружителей это будут веро­ ятности ложной тревоги рлх и пропуска сигнала рпс или правильного обнаружения [принятия решения о наличии сигнала в y(t) при условии, что он там действительно присутствует] рпо = Р(Й\|Я,) = 1 —рпс. Качество работы различителей будет характеризоваться вероятностями пере­ путывания pik = P(Hk\Ht) гипотезы Ht о приеме сигнала x,(f) с гипотезой Нк о приеме сигнала sk(t) или вычисленной на основе этих вероятностей и априорных данных полной вероятностью ошибки Рош (2.2). При дальнейшем рассмот­ рении (до § 3.7) моделью помехи будет служить аддитив­ ный белый шум, схема обобщения результатов па случай небелого шума будет дана в § 3.8.

Почему обнаружение и различение сигналов являются задачами проверки гипотез? Чем отличаются простые гипотезы от сложных? параметрические от непараметрических? Каким образом критерий Байеса связан с критериями идеального наблюдателя, минимума суммы условных ве­ роятностей ошибок, Неймана — Пирсона?

Составляют ли ложная тревога и пропуск полную группу

событий?

Какие векторы у [реализации у(01 включают в область

Gk, соответствующую принятию k-й гипотезы при исполь­ зовании байесовского критерия и его вариантов?

В чем разница между априорной и апостериорной вероят­

ностями гипотезы Н, [присутствия ьго сигнала в >■(<)]? При каких прочтениях выражение B'CyO)!#,) является усло­ вным функционалом ПВ y(f) при истинной гипотезе Ht либо функцией правдоподобия?

37

Как связаны друг с другом отношение и функция правдоподобия?

Объясните, почему различение сигналов со случайными параметрами при известной априорной ПВ последних удается свести к проверке простых гипотез..

Присутствие какого из различаемых детерминированных сигналов наиболее правдоподобно в колебании y(t), если

помехой является аддитивный белый гауссовский шум? Как соответствующее утверждение связано с интерпретацией вы­ ражения (1.9)?

ГЛАВА 3

АЛГОРИТМЫ И УСТРОЙСТВА

ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ

§ 3.1. ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА

Как было показано в гл. 2, процедура оптимального обнаружения полностью известного сигнала s(t) сводится к вычислению ОП / (2.12) или любой монотонной функции /(/) и сравнению их с соответствующими пороговыми значениями. Учитывая вид I для рассматриваемой задачи (2.18) и выбрав в качестве /(/) 1п/, получим следующее решающее правило:

ц,

(3.1)

г

где 2 = f y(r)X?)dz—корреляционный интеграл или корреля- 0

ция, определяющая степень сходства наблюдаемой реали­ зации у(г) с ожидаемым сигналом s(t). При гипотезе Н1

и используется при обнаружении. Входящий в (3.1) поро­ говый уровень 2П зависит от принятого критерия обнару­ жения. Так, при общем байесовском подходе, согласно (2.12), zn = 0,5NoQnla+E/No). При ориентации на наиболее часто применяемый на практике критерий Неймана—Пир­ сона 2П определяется заданным уровнем вероятности ложной тревоги р„. Структура устройства, называемого

корреляционным приемником и реализующего алгоритм (3.1), приведена на рис. 3.1, где обозначения х, f и ПУ отвечают перемножителю, интегратору и пороговому уст­ ройству. Третий слева блок предназначен для взятия

38

Рис. 3.1

отсчета (стробирования) текущего значения на выходе ин­ тегратора в момент окончания наблюдений Т. Это равносиль­ но умножению выходной величины интегратора на короткий (за его длительность результат интегрирования не должен изменяться) импульс единичной амплитуды e(t), запаздыва­ ющий на время Т. Заметим, что опорный сигнал коррелятора на рис. 3.1—точная копия обнаруживаемого сигнала, форми­ руемая автономным генератором в месте приема. Воспро­ изведение сигнала в обнаружителе оказывается возможным вследствие полной детерминированности s(t).

Можно предложить другую техническую реализацию алгоритма (3.1), основываясь на том, что корреляцию z можно сформировать как отсчет в момент времени 1=Т сигнала у,Ы1(/) на выходе фильтра, импульсная характерис­ тика которого h(f) = s(T— t). Напомним, что такой фильтр называют согласованным. Структура обнаружителя, осно­

для случая, когда обнаруживаемым сигналом является прямоугольный импульс, приведены на рис. 3.2 и 3.3.

Как известно [9], реакция СФ на сигнал, с которым он согласован, имеет вид корреляционной функции пос­ леднего К5(т), смещенной на время Т в сторону запазды­ вания, т. е.

= Ks(t - Т) = f 5(0X0 - (/ - 7))d0.

Следовательно, максимальное значение (амплитуда) сигна­ ла после СФ

Рис. 3.2

39