Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

Отталкиваясь от трактовки гармонического колебания как проекции вектора, вращающегося с постоянной скоростью, попытайтесь дать геометрическую интерпретацию понятию гильбертовой огибающей.

Рассматривая преобразование Гильберта как интеграл нало­

жения (свертки, Дюамеля), покажите физическую нереализуемость гильбертова фильтра.

Объясните смысл функционала ПВ случайного процесса и его преемственность по отношению к многомерным ПВ. Какие детерминированные векторно-матричные величины и в каком количестве полностью описывают вероятностные свойства нормального случайного вектора?

Что такое обратная корреляционная функция и как она участвует в вероятностном описании гауссовского случай­ ного процесса?

Что представляет собой обратная корреляционная функция белого гауссовского шума и как классифицируются реализа­ ции последнего по «вероятности»?

ГЛАВА 2

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ

И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ

§2.1. СОДЕРЖАНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ

стем, в их функционировании можно выделить целый ряд

20

операций, поддающихся унифицированному и в достаточ­ ной мере абстрактному исследованию, не опирающемуся на специфику той или иной системы и в равной степени продуктивному для многих конкретных приложений. К чис­ лу таких операций относятся и изучаемые в данном и следующем разделах процедуры обнаружения и раз­ личения сигналов.

Под обнаружением сигнала в радиоэлектронике пони­ мают анализ принятого колебания у (г), завершающийся вынесением решения о наличии или отсутствии в нем некоторой полезной составляющей, которую и называют сигналом. Различение М сигналов определяют как анализ принятого колебания y(f), заканчивающийся принятием решения о том, какой именно из М сигналов, принадлежа­ щих указанному заранее множеству S={x0(r), 5i(f), ...,

присутствует в y(t). Нетрудно видеть, что обнару­ жение сигнала есть частный случай различения двух сигналов, один из которых равен нулю на всем интервале наблюдения. Характерными практическими примерами вы­ полнения указанных действий являются обнаружение отра­ женных от целей сигналов в радио- и гидролокации, обнаружение сигналов опорных маяков в радионавигации, различение М передаваемых посылок в системах цифровой связи и т. д.

Вероятностный характер наблюдаемого колебания у (г) приводит к тому, что любой различитель или обнаружи­

не застрахован от ошибок. Таким образом, любой различи­ тель время от времени выносит решения, не соответствую­ щие действительности, считая, что в наблюдаемом колеба­ нии присутствует к-й сигнал, тогда как в действительности в у (г) содержится i-й сигнал. Разрабатывая тот или иной различитель, следует стремиться так выбрать стратегию его работы, чтобы вредные последствия, связанные с ука­ занными ошибками, были минимальными. В поисках подобных стратегий инженеры обращаются к теории статистических решений (выводов), точнее к разделу этой теории, посвященному проверке гипотез.

Теория проверки гипотез служит методологическим базисом всех исследований по обнаружению и различению

* Термин «различитель» («обнаружитель») далее применяют для обозначения объекта — технической системы или человекаоператора, осуществляющего различение (обнаружение) сигна­

лов.

21

сигналов. Незначительно адаптируя язык теории статисти­ ческих решений к форме, более привычной для радиоспе­ циалистов, можно так сформулировать задачу проверки М гипотез. Пусть наблюдаемое колебание y(t) является реализацией случайного процесса, который имеет распреде­

решить, какому из классов принадлежит JVy. Предпо­

ется принятым решением. Частный случай М=2 называют

двухальтернативным или проверкой гипотезы Но относи­ тельно альтернативы Н1. Если М>2, то проверку гипотез называют многоалътернативной. ПараллеЛи между провер­ кой гипотез и различением сигналов в радиотехнике очевидны, если учесть, что, согласно (1.1), анализируемое различителем колебание y(t) является результатом взаимо­ действия присутствующего в нем сигнала (?) с мешающим

присутствует в у (?), зависит ПВ ансамбля, которому принадлежит у (?), так что каждому (?) соответствует некоторый класс И7, распределений ансамбля, представляе­ мого у(?). Таким образом, гипотезы Я, в терминах различения сигналов трактуются как предположения о на­

личии сигнала в у(?); соответственно решения Яо и Нг означают утверждение, что сигнала в y(t) нет или сигнал в у(?) есть.

Идентичность содержания задач проверки гипотез и различения сигналов объясняет прямое использование терминологии теории решений в литературе по обнаруже­ нию и различению сигналов. Далее будем широко пользо­ ваться этой терминологией, отождествляя проверку М ги­ потез с различением М сигналов, а истинность ;'-й гипотезы с присутствием /-го сигнала в наблюдаемом колебании.

22

Как отмечалось, проектировщики ищут в теории решений ответы на вопрос об оптимальных в определенном смысле действиях при различении сигналов. В-' свою очередь, рекомендации, даваемые теорией проверки гипо­ тез, в сильной степени зависят от мощности и способа задания классов W(, отвечающих гипотезам Ht. Дадим в этой связи такие определения. Гипотезу Я,- называют

простой, если класс IVt содержит одно и только одно распределение. Любую другую гипотезу называют слож­ ной. М сложных гипотез называют параметрическими,

если соответствующие им классы отличаются друг от друга только значениями конечного числа параметров одного и того же распределения, описываемого известным законом. В противном случае гипотезы именуют непара­ метрическими. Так, два класса IVO и И7,, состоящие толь­

и несимметричные одномерные ПВ, соответствуют двум непараметрическим гипотезам Но и Ht, так как эти классы различаются более чем значениями конечного числа пара­ метров фиксированной ПВ.

В данной книге будут рассмотрены только те задачи различения сигналов, которые удается свести к проверке простых гипотез. Несколько опережая события, отметим, что таковыми, в частности, являются различение детерми­ нированных сигналов, а также сигналов со случайными распределенными по известному априори закону пара­ метрами. Вопросы обнаружения и различения сигналов в случаях, не сводимых к проверке простых гипотез, как правило, более сложны и рассматриваются в специальной литературе.

§2.2. РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Статистические критерии различения детерминированных сигналов. Для того чтобы задача поиска, или синтеза,

оптимальных правил различения сигналов обрела матема­ тическую содержательность, необходимо прежде всего задаться некоторым формальным показателем (критерием) качества различения, т. е. количественной мерой, сумми­ рующей ущерб, наносимый ошибочными решениями.

23

■ми.

Введение такого показателя не является плодом каких-либо формально-теоретических выкладок: при решении вопроса об адекватности того или иного критерий реальной ситуации исследователь или проектировщик, учтя все специфические стороны последней, во многом опирается на здравый смысл

итехническую интуицию. Избранный на этом этапе

критерий в дальнейшем воспринимается как аксиома.

В тех задачах, которые удается свести к проверке простых гипотез, продуктивным оказывается критерий минимума среднего риска, называемый также критерием Байеса. Для того чтобы наиболее наглядно ввести связан­ ную с ним систему понятий и терминов, обратимся к конкретному примеру различения М детерминированных

сигналов x0(r), (?), ..., xM-i (?) на фоне помех с полностью заданным статистическим описанием, т. е. с точно извест­ ной ПВ любой размерности п или с точно известным функционалом ПВ. В рамках такой модели различения ПВ любой размерности или функционал ПВ наблюдаемого

М классов, содержащих по одному распределению, т. е. различение сигналов состоит в проверке простых гипотез.

Предположим, что известна вероятность р, присутствия в y(t) сигнала Эту вероятность называют априорной (доопытной), поскольку она отражает сведения, которыми располагает наблюдатель, еще не имея в распоряжении реализации _у(?), и показывает, насколько часто при длительной эксплуатации изучаемой системы можно ожи­ дать появления х, (г) в y(t). Для систем Л/-ичной цифровой связи, например, вероятность pt характеризует среднюю частоту, с которой х,(?) посылается в канал. Очевидно, вероятность pt можно назвать и априорной вероятностью

24

вероятности для любого фиксированного способа различе­ ния сигналов можно вычислить, так как помехи считаются полностью статистически заданными (см. далее).

Введем М2 неотрицательных величин П1к, каждая из которых характеризует риск (потери, ущерб) от перепуты­ вания ьго сигнала с fc-м. При этом правильные решения считаются не наносящими ущерба, так что П„ = 0. Для наглядности можно считать П|к некими денежными штра­ фами, уплачиваемыми за ошибки.

В каждой отдельной попытке различения сигналов итог (решение) оказывается случайным событием, а по­ этому случайным будет и значение риска. Очевидно, безусловную вероятность того, что риск окажется равным П(к, по теореме умножения вероятностей можно найти как Р(Н,} P(Hk\Hi)=pipik, поэтому математическое ожидание риска или средний риск

(2-1)

i, к

Критерий Байеса, или минимального среднего риска, предписывает добиваться минимума (2.1). Различитель, оптимальный по этому критерию (байесовский различи­ тель), при длительной эксплуатации будет наиболее «эконо­

Хотя задание рисков П,к (часто и априорных вероят­ ностей рО достаточно произвольно, практическая ценность критерия Байеса чрезвычайно велика, так как он, обобщая ряд других критериев, позволяет получить универсальный ответ на вопрос о наилучшей стратегии различения сигналов. Предположим, например, что, не имея объектив­ ных данных для назначения всех рисков, разработчик стремится лишь к тому, чтобы различитель как можно реже ошибался, т. с. чтобы полная вероятность ошибки

была минимальной. Нетрудно видеть, что такой критерий качества, называемый критерием идеального наблюдателя или критерием Котельникова, можно рассматривать как частный случай байесовского, положив в (2.1) П;к = П,

25

Представим теперь, что затруднение вызывает задание не только рисков, но и априорных вероятностей. Подобная картина типична, например, для радиолокационного обна­ ружения. Тогда определить полную вероятность ошибки нельзя, но можно предложить вполне удовлетворительный

i-0 k=O k*i

Легко убедиться, что это частный случай байесовского критерия, в котором П^ = П, i^k; р{=\/М', i = 0, 1, ..., М— 1. Действительно, после 'этих подстановок (2.1) примет вид П = ПРощу£Л/Л/, указывающий на идентичность задач мини­ мизации П и Рошусл.

В частном случае М=2, so(t) = 0 рассматриваемая задача переходит в обнаружение детерминированного сиг­ нала jj (/) на фоне помех с известным статистическим описанием. При этом условные вероятности р01 = Р(Н1 |Я0) и р10 = ?(//0|Я1) на статистическом языке называют веро­ ятностями ошибок первого и второго рода. Согласно терминологии, принятой в радиоэлектронике, эти же вели­ чины именуют более выразительно — вероятности ложной тревоги и пропуска (сигнала), понимая под ложной трево­ гой факт решения Ht об обнаружении сигнала при условии,

в y(z) нет при условии, что в действительности он в y(t)

иРпс—Рю- Средний риск при обнаружении

П=рлтр0П01+йпс(1 -Йо) П10, где П01 и П10— риски, связан­

с какими-либо допущениями относительно числа М прове­ ряемых гипотез, при обнаружении часто применяют крите­ рий Неймана — Пирсона, предписывающий добиваться ми­ нимума вероятности пропуска рпс при ограничении сверху на вероятность ложной тревоги йлт^йлто- В математической дисциплине, называемой нелинейным программированием и занимающейся вопросами отыскания условных (в задан­

26

ных областях аргументов) экстремумов функций многих переменных, доказывается известная теорема Куна—Таккера, согласно которой минимизация рлт при рлт<рлт0 равносильна безусловной минимизации целевой функции рпс + црлт, где

х П10(рпс + црлт), нетрудно убедиться в возможности интер­ претации и этого критерия как частного случая байесовского.

Правила оптимального различения и обнаружения. По­

пытаемся выяснить, какой стратегии должен придержи­ ваться байесовский различитель М детерминированных сигналов. При этом в свете ранее изложенного сразу будут установлены и стратегии функционирования раз­

составляющих вектор наблюдения у=(у,, у2......у„)т. Обоб­ щение на случай непрерывного наблюдения в дальнейшем

Любая нерандомизированная (не включающая предна­ меренно введенных действий со случайным исходом типа бросания жребия) процедура различения М сигналов может интерпретироваться следующим образом. Допустим, что n-мерное пространство векторов Е" разбито на М (соответ­ ственно числу различаемых сигналов) непересекающихся областей решения Go, Gt.....

м-1

G;nGk = 0, ijtk, i, k = 0, 1, ..., M-l; (J G; = £".

( = 0

Тогда принятие решения различителем сводится к указанию номера области, в которую попал вектор наблюдения у.

различения сводит поиски оптимальной стратегии различителя к отысканию наилучшего разбиения Еп на области решений.

В случае обнаружения (М = 2) число областей решения также равно двум: E" = G0(J Glt Go(~)Gl=0, причем

27

область Go называют допустимой (при у е Go принимают решение об истинности Но), а область Нк—критической

(при yeGk гипотезу Но отклоняют и принимают решение Нк). Для того чтобы найти оптимальное правило разбиения, подставим в (2.1) выражения для условных вероятностей

ластей решения сводится к тому, чтобы, перебрав все векторы у, расписать их по М областям, включив каждый в одну и только одну область Gk. При этом, как следует из последней формулы, каждый вектор войдет в одно и только одно слагаемое суммы по к, отвечающее той области, за которой он закреплен. Поэтому минимума можно добиться, если охватить областью Gk именно те векторы у, для которых подынтегральное выражение в fc-м интеграле минимально. Следовательно, разбиением Ея на области Go, ..., GM_k, минимизирующим П, будет та­ кое, при котором в Gk включаются векторы у (и только они), удовлетворяющие системе М неравенств

м-1 М-1

XAnitlF(y|H,.)^ X АП(гЖ(у|Я(), г=0, 1, .... М-1. (2.4)

i = 0 ; = о

Если перейти к случаю непрерывного наблюдения (к пространствам бесконечной размерности), то «-мерные ПВ в (2.4) превратятся в функционалы ПВ W(y (г) j Н(), т. е. область принятия решения Нк определится системой М не­

Таким образом, байесовский различитель, наблюдая реализацию у(?), должен установить номер к, для которого совместно выполнены неравенства (2.5), и принять решение Нк о наличии в у (?) сигнала с номером к. Представим это правило в виде, который и далее будет использоваться

28

где символ Нк указывает на решение, принимаемое при одновременном выполнении всех неравенств в (2.6). Отме­

средним риском. Поэтому выражение (2.6) подразумевает вычисление для анализируемой реализации у (?) М значений

ного наблюдателя, минимизирующего (2.2), следует поло­

М — 1

I А^(>-(?М)=иф(?)),

Величина Р(Я, |у(?)) определяет апостериорную (обрат­ ную, послеопытную) вероятность гипотезы Н:, т. е. вероят­ ность наличия i-го сигнала в >•(?) с учетом всех сведений, которые можно извлечь из наблюдаемой реализации у(?). Следовательно, идеальный наблюдатель принимает реше­ ние в пользу сигнала, имеющего наибольшую апостериор­ ную вероятность, т. е. действует по правилу максимума

апостериорной вероятности (МЛВ).

29